四川省广元市剑阁县开封中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

四川省广元市剑阁县开封中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是数列“为递增数列”的                （     ）    A．充分不必要条件               B．必要不充分条件      C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 2. sin300°等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： A 【考点】运用诱导公式化简求值．  【专题】计算题． 【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果． 【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣． 故选A 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 设集合，则    A.{0，1}        B.{-1，0，1}        C.{0，1，2}         D.{-1，0，1，2} 参考答案： A 因为，，所以，选A. 4. 如果执行右面的程序框图，如果输出的，则判断框处为（　　） A．  B．      C．  D． 参考答案： A 略 5. 双曲线 的左、右焦点分别是、，过垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若为正三角形，则该双曲线的离心率为   A．        B．          C．      D． 参考答案： A 6. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A．                    B．                   C．                         D． 参考答案： B 略 7. 函数y=ln（x2﹣4x+3）的单调减区间为（　　） A．（2，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，1） 参考答案： D 【考点】复合函数的单调性． 【分析】令t=x2﹣4x+3＞0，求得函数的定义域，且y=lnt，本题即求函数t在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【解答】解：令t=x2﹣4x+3＞0，求得x＜1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞3}，且y=lnt． 故本题即求函数t在定义域{x|x＜1，或x＞3}上的减区间． 再利用二次函数的性质求得t在定义域{x|x＜1，或x＞3}上的减区间为（﹣∞，1）， 故选：D． 8. 若函数在上单调递减，则k的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：， 函数在上单调递减，则恒成立，即：， 据此可得：恒成立， 令，则， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数的最大值为，由恒成立的结论可得：， 表示为区间形式即. 故选：C. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.   9. 如图，给出的是的值的一个程序框图， 框内应填入的条件是                        （    ）        A．                   B．                   C．                   D．  参考答案： B 略 10. 定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数，给出如下结论： ①；  ②；  ③； 其中正确的个数是   A． 0       B．1            C．2           D．3 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若的展开式中所有项的系数之和为256，则     ，含项的系数是     （用数字作答）. 参考答案： 4,108 12. 已知集合若，则实数的取值范围是，其中=               。 参考答案： 4 13. 已知定义在R上的函数满足，当时，，则         ． 参考答案： 4 考点：周期性和对称性 因为 所以函数的周期为2． 所以 故答案为：4 14. 的展开式中的系数是_________．（用数字作答） 参考答案： 84 ∵的展开式中的系数是． 15. 已知函数f（x）=﹣log2x的零点在区间（n，n+1）（n∈N）内，则n的值为　   　． 参考答案： 2 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）?f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间 【解答】解：∵函数f（x）=﹣log2x， ∴可判断函数单调递减 ∵f（2）==＞0，f（3）=＜0， ∴f（2）?f（3）＜0， 根据函数的零点的判定定理可得： 函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间是 （2，3）， n的值为：2． 故答案为：2． 16. 已知集合，若则实数的取值范围是，其中=       . 参考答案： 4 17. 已知，若向量与共线，则            . 参考答案：     由共线，得 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=,0°＜θ＜90°)且与点A相距海里的位置C. (1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）； (2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 参考答案： （1）如图， AB=，AC=，∠BAC=θ,sin θ=. 由于0°＜θ＜90°，所以 由余弦定理得 所以船的行驶速度为（海里/小时）. (2） 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1）， C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1=AB=40， x2=ACcos∠CAD=cos(45°-θ)=30, y2=ACsin∠CAD=sin(45°-θ)=20. 所以过点B、C的直线l的斜率k==2， 直线l的方程为y=2x-40. 又点E（0，-55）到直线l的距离 所以船会进入警戒水域. 19. 已知函数R)． （Ⅰ）若，求曲线在点处的的切线方程； （Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）解：当时，． ，                                   ……2分 因为切点为（）， 则，                  ……4分 所以在点（）处的曲线的切线方程为：．    ……5分 （Ⅱ）解法一：由题意得，即．      ……9分 （注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分） ，             ……10分 因为，所以恒成立， 故在上单调递增，                            ……12分 要使恒成立，则，解得．……15分 解法二：                 ……7分       （1）当时，在上恒成立， 故在上单调递增， 即．                  ……10分                  （2）当时，令，对称轴， 则在上单调递增，又     ① 当，即时，在上恒成立， 所以在单调递增， 即，不合题意，舍去   ……12分 ②当时，， 不合题意，舍去   ……14分 综上所述：                                       ……15分 20. 已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线交椭圆于A，B两点，且，求的取值范围。 参考答案： (1)；(2). 试题分析： （1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，，当直线的斜率不为时，设直线在y轴上的截距式方程为，，，联立方程可得，满足题意时，结合韦达定理可知，据此可知.综上可得. 试题解析： （1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线的斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21. （本小题为选做题，满分8分）     试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =． 参考答案： （选做题）（本小题满分8分） 解：MN = =，-----------------------4分     即在矩阵MN变换下，-------6分 则， 即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．---------8分   22. 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB=90° ,SA=3,SB=5,,,.   (1)求证:AB平面SAD； (2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值； (3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积. 参考答案： (1) 见解析；(2) ； (3)1 【分析】 （1）通过证明，得线面垂直； （2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值； （3）根据面面平行关系得出点F的位置，即可得到体积. 【详解】(1)证明:在中,因为, 所以. 又因为∠DAB=900 所以, 因为 所以平面SAD.  (2)解:因为 AD,,， 建立如图直角坐标系： 则A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3). 平面SAB的法向量为. 设平面SDC的法向量为 所以有 即, 令， 所以平面SDC的法向量为   所以 (3)因为平面AEF//平面SCD, 平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD, 所以, 平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC, 所以 由,AD//BC 得四边形AEDC为平行四边形. 所以E为BC中点. 又, 所以F为SB中点. 所以F到平面ABE的距离为, 又的面积为2, 所以. 【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.