吉林省长春市德惠第四中学2022年高三数学理期末试卷含解析

吉林省长春市德惠第四中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△中，是边中点，角的对边分别是，若，则△的形状为        A.直角三角形           B.钝角三角形  C.等边三角形  D.等腰三角形但不是等边三角形. 参考答案： C 由题意知， ∴，∴， 又、不共线，∴，∴ 2. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆锥的． 解答： 解：由题意，该几何体为圆锥的， 其底面面积为×π×22=π，高为4， 则其体积V=×π×4=， 故选B． 点评： 三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力． 3. 已知集合=     （    ）     A．             B．  C．  D． 参考答案： 答案：C 4. 若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于 A．5            B．6              C．7               D．8 参考答案： B 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，解得，所以，直线经过点时，有最小值，由，解得，所以，所以，故选B.   5. 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是 A．(－∞，－1)  B．(1，＋∞) C．(－1,1)∪(1，＋∞)  D．(－∞，＋∞) 参考答案： C 6. 半圆的直径＝4, 为圆心，是半圆上不同于、的任意一点，若为半径的中点，则的值是 A.   －2    B .  －1    C . 2     D.  无法确定，与点位置有关 参考答案： B 略 7. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）   A．93+12 B．97+12 C．105+12 D．109+12 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体，利用所给数据，即可得出结论． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体． ∴该几何体的表面积=5×4×4+1×4+3×4+2××3+4×=105+12． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与长方体的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 设，则的图像的一条对称轴的方程是 A.               B.        C.        D.  参考答案： B 由得，,所以当时，对称轴为，选B. 9. 给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的个数是      （    ）     A．0                B．1                C．2                D．3 C 参考答案： C 函数的最小正周期为，①正确.，在区间上递增，②正确.当时，，所以不是对称轴，所以③错误.所以正确的命题个数为2个，选C. 10. 已知集合，则满足条件的实数组成的集合是 （A）{1，4}    （B）{1，3}    （C）{1，3，4}   （D）{0，1，3，4} 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是　    　． 参考答案： 2 【考点】定积分． 【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论． 【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2． 故答案为：2． 12. 若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则在[－1,1]上的最大值与最小值的和为  ▲  ． 参考答案： –3 分析：先结合三次函数图象确定在(0,+∞)上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果. 详解：由 得 ，因为函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点且，所以 ，因此 从而函数f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以， ，   13. 设全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=        ，A∪B=        ，A∩（?UB）=         ． 参考答案： {﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}。 考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算． 专题：集合． 分析：确定出A与B，找出A与B交集、并集及A与B的补集即可． 解答： 解：∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}， ∴?UB=B={x|x≠±1}， ∴A∩B={﹣1}，A∪B={﹣1，1，5}，A∩（?UB）={5}． 故答案为：{﹣1}，{﹣1，1，5}，{5}． 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 14. 已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上，,EF⊥平面PDE,，,若该球的体积为，则三棱锥P-DEF的表面积为__________． 参考答案： 27 【分析】 设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，解得，所以，分别求得，，，再利用面积公式，即可求解． 【详解】如图所示，因为平面，所以，，， 因为，，所以平面，所以， 设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心， 由题知，解得，所以， 在中，,，所以， 在中，， 在中，， 所以三棱锥的表面积为 . 故答案为：27. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的表面积的公式，其中解答中根据球的体积求得球的半径，以及正确三棱锥的线面位置关系，利用三角形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 15. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是　　． 参考答案： 2   【考点】两点间距离公式的应用． 【分析】由直线过定点可得AB的坐标，由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得． 【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0）， 直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0， 令可解得，即B（1，3）， 又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直， ∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10， 由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2 =（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB| ≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2 =（|PA|+|PB|）2， ∴（|PA|+|PB|）2≤20， 解得|PA|+|PB|≤2 当且仅当|PA|=|PB|=时取等号． 故答案为：2． 【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题． 　 16. 已知的定义域是，则的定义域为   ▲   ． 参考答案： [1，3] 略 17. 在四面体ABCD中，若， ，，则四面体ABCD的外接球的表面积为_______. 参考答案： 10π 【分析】 根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的表面积公式即可求得结果. 【详解】由题意可知，四面体是由下方图形中的长方体切割得到，为长方体的四个顶点，则四面体的外接球即为长方体的外接球 设长方体长、宽、高分别为 则    即长方体体对角线长度为： 长方体外接球半径为体对角线长度一半，即 四面体外接球表面积： 本题正确结果： 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 本小题满分15分） 如图，已知椭圆E：，焦点为、，双曲线G：的顶点是该椭圆的焦点，设是双曲线G上异于顶点的任一点，直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为. （1）求椭圆E与双曲线G的方程； （2）设直线、的斜率分别为和，探求 和的关系； （3）是否存在常数，使得恒成立？ 若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由． 参考答案： （1）由题意知，椭圆中  所以椭圆的标准方程为              …………2分 又顶点与焦点重合，所以；    所以该双曲线的标准方程为。   …………4分  （2）设点              在双曲线上，所以           所以  …………8分 （3）设直线AB：     由方程组得    ………10分 设 所以         由弦长公式    同理        ………12分 由代入得        ………13分      所以存在使得成立。   ………15分 略 19. （本小题满分12分的内角、、对的边分别为、、 , 与垂直. （1）求的值； （2）若,求的面积的最大值. 参考答案： (1)；(2). 试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理的知识求解；(2)借助题设条件运用基本不等式求解. 试题解析： （1）与垂直,, 即. 根据正弦定理得.   由余弦定理得. 是的内角,. （2）由（1）知..又的面积的面积最大值为. 考点：向量的数量积、余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用． 20. (本题满分14分）设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。 （Ⅰ）求与之间的函数关系； （Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）； （Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？  注：可选用数据：. 参考答案： （I）根据题意，当购票人数不多于100时，可设与之间的函数关系为    . （2分）  ∵人数为25时，该旅游景点收支平衡， ∴，解得 （3分） ∴（5分） （II）（4分） （III）设每张门票价格提高为元，根据题意，得 （2分） ∴。（3分） 从而，每张门票最少要37元。（5分） 21. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程        在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数）， 若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标 方程为（t为参数）