吉林省四平市伊通满族自治县满族中学校高三数学理期末试题含解析

吉林省四平市伊通满族自治县满族中学校高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (    ) A． B. C.     D. 参考答案： 【知识点】抽象函数及其应用． A 解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0， 选项B、C、D函数没有对称轴；函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A正确． 故选：A． 【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可． 2. 已知命题 ：                     （    ） A．          B． C．          D． 参考答案： D 略 3. 已知函数，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为   B．函数的最大值为1 C．将函数的图象向右平移单位后得的图象 D．将函数的图象向左平移单位后得的图象 参考答案： C 略 4. 设Sn是公差不为零的等差数列的前n项和，且a1 > 0，若S5 = S9，则当Sn最大时，n = A．6 B．7 C．8 D．9 参考答案： B 5. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为 A.       B.       C.        D. 参考答案： D 6. 函数f(x)是定义域为R的非常值函数，且对任意，有，，则f(x)是（    ） （A）奇函数但非偶函数 （B）偶函数但非奇函数 （C）奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 参考答案： B 7. 设集合,,则  A．        B．         C．         D． 参考答案： A 8. 对任意实数，函数的导数存在，若且，则以下正确的是（   ） A.    B.    C.    D. 参考答案： B 略 9. 已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 参考答案： D 【考点】集合的表示法． 【专题】集合思想；综合法；集合． 【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数． 【解答】解：由题意可知， 集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}， 则B的子集个数为：23=8个， 故选：D． 【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个． 　 10. 设集合，，则使M∩N＝N成立的的值是（    ）           A．1　　　 B．0          C．－1    D．1或－1 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角的对边分别为，且满足条件，，则的周长为          ． 参考答案： 3 12. 函数的反函数是_____________. 参考答案： 13. 已知，则         参考答案： 14. 已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为           ． 参考答案： 11 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得． 【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=， 当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1， 而y=在x=时也有y=1； 当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=3时也有y=； 当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=6时也有y=； …， 当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=1536时也有y=； 综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点． 故答案为：11． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题． 15. 已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x﹣（m+1）y=1垂直，则m的值为﹣； 若直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，则m的值为          ． 参考答案： ±2 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由直线垂直可得m﹣m（m﹣1）=0，解方程可得m值；由圆的弦长公式可得m的方程，解方程可得． 【解答】解：由直线垂直可得m+m+1=0，解得m=﹣； 化圆C为标准方程可得x2+（y﹣1）2=9， ∴圆心为（0，1），半径r=3， ∵直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4， ∴圆心到直线l的距离d==， ∴由点到直线的距离公式可得=，解得m=±2 故答案为：﹣；±2 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属中档题． 16. 如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 参考答案： 17. 已知命题，则命题                     。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 某公司销售、、三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计月份共销售 部手机（具体销售情况见下表）   款手机 款手机 款手机 经济型 豪华型 已知在销售部手机中，经济型款手机销售的频率是. （Ⅰ）现用分层抽样的方法在、、三款手机中抽取部，求在款手机中抽取多少部？ （Ⅱ）若，求款手机中经济型比豪华型多的概率。 参考答案： （Ⅰ） 因为，所以     ………………………………………2分 所以手机的总数为：………………3分 现用分层抽样的方法在在、、三款手机中抽取部手机，应在款手机中抽取手机数为： （部）. ……………………5分   （Ⅱ）设“款手机中经济型比豪华型多”为事件，款手机中经济型、豪华型手机数记为， 因为，，满足事件的基本事件有： ，，，，，，， ，，，，共个 事件包含的基本事件为，，，，，，共7个，所以 即款手机中经济型比豪华型多的概率为…………12分 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为直角梯形,，,平面底面，为中点，M是棱PC上的点，． （1）若点M是棱PC的中点，求证： 平面； （2） 求证：平面底面； （3）若二面角M-BQ-C大小为，且，若，试确定t的取值范围． 参考答案： ∴的最大值是10+6…………………………（13分）         ，解得，， 即的取值范围为.   略 20. （本题满分12分） 如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求直线到平面的距离； （3）求二面角的正切值． 参考答案： 【知识点】点到面的距离  二面角  G11 （1）略；（2）；（3）. (1)证明:连结,则， 又∵,∴平面,∴, 而,∴.  (2)取中点为,连结则,∴.    过作直线于点,则平面, ∴就是直线到平面的距离. 在矩形中, ∴在中, 直线到平面的距离.        (3)过作于点,则平面,    过作于点,连结,则 ∴即为所求二面角的平面角,    在中,为中点, ∴, 在中,. 所以二面角的正切值为. 【思路点拨】(1)连结,证明平面,∴,而,∴；（2）取中点为,连结则,∴. 过作直线于点,则平面,∴就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面, 过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得. 21. 已知函数    （1）求函数是单调区间；    （2）如果关于的方程有实数根，求实数的取值集合；    （3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由. 参考答案： 解：（1）函数的定义域是对求导得    …………（2分） 由 ,由 因此 是函数的增区间； （－1，0）和（0，3）是函数的减区间    ………………（5分） （2）因为 所以实数m的取值范围就是函数的值域 对 令 ∴当x=2时取得最大值，且 又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0， 进而有无限趋近于－∞.因此的值域是 即实数m的取值范围是  ………………（10分） （3）结论：这样的正数k不存在。        ………………（11分） 若存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则 由①和②可得 利用比例性质得  即    …………（13分） 由于上的恒正增函数，且 又由于 上的恒正减函数，且 ∴ ∴ 这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在  ……………………15分 22. 等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{bn}的公比． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）求数列{（﹣1）nan?bn}的前2n项的和． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过联立S2=12﹣b2=12﹣q与q=，计算可知q=3，进而可得公差d=3，分别利用等差数列、等比数列的通项公式计算即得结论； （2）通过（1）可知，cn=（﹣1）nan?bn=（﹣1）nn?3n，从而计算T2n=﹣1?31+2?32﹣3?33+…﹣（2n﹣1）?32n﹣1+（2n）?32n即可，通过记T2n′=2?32+4?34+…+（2n）?32n、T2n″=1?31+3?33+…+（2n﹣1）?32n﹣1，分别利用错位相减法计算，进而利用T2n=T2n′﹣T2n″计算即得结论． 【解答】解：（1）∵a1=3，b2+S2=12，b1=1， ∴S2=12﹣b2=12﹣q， 又∵q=， ∴， 解得：q=3或q=﹣4（舍去），S2=9， d=a2﹣a1=S2﹣2a1=3， ∴an=3+3（n﹣1）=3n， bn=3n﹣1； （2）由（1）可知，cn=（﹣1）nan?bn=（﹣1）nn?3n， 记数列{（﹣1）nan?bn}的前2n项的和为T2n，则 T2n=﹣1?31+2?32﹣3?33+…﹣（2n﹣1）?32n﹣1+（2n）?32n， 记T2n′=2?32+4?34+…+（2n）?32n， 则9T2n′=2?34+4?36+…+（2n）?32n+2， 两式相减得： =， ∴， 同理，记T2n″=1?31+3?33+…+（2n﹣1）?32n﹣1，利用错位相减法计算可知 T2n″=+， ∴T2n=T2n′﹣T2n″=．