内蒙古自治区赤峰市交通职业技术学院附属中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对应点所在的位置．
【解答】解：化简复数﹣i=﹣1﹣（a+1）i，
由题意知 a+1=﹣1，解得 a=﹣2．
故选 A．
2. 双曲线 的一条渐近线与直线
X+2y +1 =0垂直， 则双曲线C的离心率为
(A) (B) ( C) (D)
参考答案：
【知识点】双曲线的简单性质 H6
C 解析：∵双曲线的焦点在x轴上，∴其渐近线方程为y=x，∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直，渐近线的斜率为2，
∴=2, 即双曲线的离心率
故答案为C
【思路点拨】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线x+2y+1=0垂直，而双曲线的渐近线斜率为，故=2，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率
3. 给出下列四个结论：
①若命题则；
②“”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；
④若，则的最小值为．
其中正确结论的个数为（ ）
参考答案：
C
略
4. 已知集合，若，则实数a的值不可能为( )
A. -1 B. 1 C. 3 D. 4
参考答案：
B
分析：由不等式的性质和交集性质得到 或 ，．
详解：：集合 ，A∩B={2}，
∴ 或 ，
∴实数 的值不可能为1．
故选B．
点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
5. 已知函数满足对任意，都有
成立，则的取值范围为（ ）
A. B. (0,1) C. D. (0,3)
参考答案：
A
6. 若无穷等差数列{an}的首项a1＜0，公差d＞0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（ ）
A．Sn单调递增 B．Sn单调递减 C．Sn有最小值 D．Sn有最大值
参考答案：
C
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】Sn=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：Sn=na1+d=n2+n，
∵＞0，∴Sn有最小值．
故选：C．
7. 定义，若，则（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 设集合，，则（ ）
A． B． C．{1} D．
参考答案：
C
9. 角的终边过点（），则（ ）
A． B． C．或 D．与的值有关
参考答案：
C
10. 已知函数在其定义域上单调递减，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C. D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是
参考答案：
12. 已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b=____
参考答案：
【分析】
画出可行域，由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，由，解方程即可得结果.
【详解】由已知作可行域如图所示，
化为，
平移直线
由图象可知，的最小值在直线与直线的交点处取得，
由，解得,
故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
13. 已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 。
参考答案：
14. （2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
参考答案：
解析：考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
15. 已知是定义在上的奇函数，且以3为周期，若，，则实数a的取值范围是_______________.
参考答案：
16. 数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列的最小值为__________.
参考答案：
－6
【分析】
由已知求得，再由配方法求数列的最小值．
【详解】由，得，
当时，，
适合上式，
．
则．
当时．
故答案为：．
【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
17. 已知函数若使得，
则实数的取值范围是 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
设等差数列 的前n项和为 ， 数列 的前n项和为
满足
(I)求数列 的通项公式及数列 的前n项和；
(Ⅱ)是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由
参考答案：
19. 某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示。
（1）求第3、4、5组的频率；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。
参考答案：
解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1。
（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10。
因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为第3组：，第4组：，第5组：，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
（3）设第3组的3名学生分别为A1、A2、A3-，第4组的2名学生分别为B1、B2，第5组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取两位学生有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种可能。其中第4组的2位学生B1，B2至少有一位学生入选的有：（A1，B1）、（A1，B2）、(A2，B1）、（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为。
略
20. 设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】分类讨论；反证法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；
（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出≤和≥相互矛盾，所以假设不成立．
【解答】解：（1）分三类讨论如下：
①当x＜﹣1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）＜3；
②当﹣1≤x≤时，f（x）=﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max=f（﹣1）=3，
③当x＞时，f（x）=﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）=﹣，
综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；
（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6=≥2=2a3b3，
所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
又因为+=Mab=3ab≥2?，
所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
显然①②相互矛盾，
所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6=．
【点评】本题主要考查了分段函数最值的确定，以及基本不等式在解题中的应用，运用了零点分段法和反证法，属于中档题．
21. 如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段DE于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE平面，连接AB，AC、AG形成如图乙所示的几何体.
（I）求证BC⊥平面AFG.
（II）求二面角的余弦值．
参考答案：
(Ⅰ) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．……………………………… 2分
在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．
又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．…………………………………………………… 4分
(Ⅱ) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，
所以FA，FD，FG两两垂直．
以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，所以，0)．…………………………………… 6分
设平面ABE的一个法向量为．
则，即，
取，则，，则．……………………………… 8分
显然为平面ADE的一个法向量，
所以．………………………………………………10分
二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分
略
22. 已知数列{ }、{ }满足：.
(1)求; (2)求数列{ }的通项公式；
(3)设，求实数为何值时恒成立
参考答案：
解：（1)
∵ ∴ ……………4分
（2）∵ ∴
∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分
∴ ∴ ……………8分
(3)
∴
∴ ……………10分
由条件可知恒成立即可满足条件设
a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立
a
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