2022-2023学年山西省运城市西官庄中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年山西省运城市西官庄中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为   (    ) A．              B．  C．                                   D． 参考答案： D 2. 已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为(     ) A．或         B．或          C．或        D．或 参考答案： D 略 3. 已知函数 ，则、、的大小关系（   ） A．>>      B． >> C．>>      D．>>ks5u 参考答案： B 4. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值． 【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上， 且MA=AB=2a，∠MAB=120°， 则M的坐标为（﹣2a， a）， 代入双曲线方程可得， ﹣=1， 可得a=b， c==a， 即有e==． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键． 5. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（    ）． A．   B．     C． D． 参考答案： A 该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥如图， 则，， ，， 则. 故选A. 6. 已知数列为等比数列，且.  ,则 =（　　） ．    .    ．     ． 参考答案： C 7. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为(     ) A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 参考答案： D 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到． 解答： 解：由双曲线的离心率为， 则e==，即c=a， b===a， 由双曲线的渐近线方程为y=x， 即有y=x． 故选D． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题． 8. 已知向量，，满足，，，为内一点（包括边界），，若，则以下结论一定成立的是（  ） A．         B．      C.         D． 参考答案： B 9. 若等边三角形ABC的边长为，该三角形所在平面内一点M满足，则等于 A.   B.    C.1    D.2 参考答案： A 略 10. 定义在R上的函数满足，当时，，则（　  ） 　A．　　　　　 B． 　C．　　　　　　　 D． 参考答案： 【知识点】函数的周期性；函数单调性的性质.B3,B4 【答案解析】D解析：解：设x∈[﹣1，1]，则x+2∈[1，3] ∴f（x）=f（x+2）=2﹣|x+2﹣2|=2﹣|x| 即f（x）= ∴=f（）﹣f（）=﹣2﹣+2+=0 ∴，排除A ∵1＞sin1＞cos1＞0，f（x）在[0，1]上单调减 ∴f（sin1）＜f（cos1），排除B ∵﹣1＜tan6＜tan3＜0，f（x）在[﹣1，0]上单调增 ∴f（tan3）＞f（tan6），排除C 故选D 【思路点拨】先设x∈[﹣1，1]，则x+2∈[1，3]，根据f（x）=f（x+2）求出f（x）在[﹣1，1]上的解析式，根据解析式可知f（x）在[0，1]上单调减，在[﹣1，0]上单调增，对选项逐一检验 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （几何证明选讲选做题）如图3，圆的弦、相交于点，若，，则         ． 参考答案： 4 试题分析：如图，连接，由∵∴，∴，∴，，即，所以，解得. 考点：圆周角，三角形相似. 12. 已知是周期为2的奇函数，当时，，设则从小到大的顺序为        .   参考答案： 13. 函数在上恒为正，则实数的取值范围是       ． 参考答案： 14. 已知，照此规律，第五个等式为      。 参考答案： 略 15. 若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为          ． 参考答案： 29π  16. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=      ． 参考答案： 17. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若 且，则b的值为            ； 参考答案：       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，当时，对任意，存在，使，证明：. 参考答案： (1)见解析；(2)见证明 【分析】 （1）求导，讨论与的大小关系得单调区间；(2)当时，由（1）得在上的最小值为，由题 转化为 ，得，分离m得，构造函数求其最大值即可证明 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，得或. 当即时，由得，由得或； 当即时，当时都有； 当时，单调减区间，单调增区间是，； 当时，单调增区间是，没有单调减区间； （2）当时，由（1）知在单调递减，在单调递增. 从而在上的最小值为. 对任意，存在，使，即存在，使值不超过在区间上的最小值. 由得，. 令，则当时，. ， 当时；当时，，. 故在上单调递减，从而, 从而实数得证 【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题 19. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （Ⅱ）从阅读时间不足10个小时样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期望. 参考答案： （Ⅰ）,阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人（Ⅱ）见解析 【分析】 （Ⅰ）由频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，求出的值，并从频率分布直方图求出阅读时间不小于个小时的学生所占的频率，利用总容量乘以该频率可得出阅读时间不小于个小时的学生数； （Ⅱ）先计算出阅读时间不足个小时的样本中初中生和高中生的人数，得出随机变量的取值为、、，再利用超几何的计算公式，可列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望。 【详解】（Ⅰ）解：。 由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.    因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人， 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时学生频率为， 学生人数约有人. 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人； （Ⅱ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为， 样本人数为人。 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人。 故的可能取值为1，2，3.                                 则 ，  ， 。 所以的分布列为： 1 2 3   所以。 【点睛】本题考查频率分布直方图以及超几何分布的分布列和数学期望，关键是要弄清楚随机变量所服从的分布列，再利用相关公式求解。   20. 已知函数f（x）=sin2x+sin2x． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间． （2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a的最小值． 【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+， ∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z． （2）∵f（）=，即： sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=， 又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，）， ∴A﹣=，解得：A=， ∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12， ∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）． 故a的最小值为2． 21. 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现 采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个 科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. （1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；      （2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率； （3）记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望. 参考答案： .解：（1）从甲组应抽取的人数为，从乙组中应抽取的人数为；--------2分 （2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率 （或）----------------------------------------------------5分 （3）的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分 ，------------------------------------------------------------7分 ，---------------------------------------------8分 ，---------------------------------------------------------------9分 （或 )-------10分 ∴的分布列如右 ---------------------------------12分 略 22. （本小题满分14分） 某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. （1）求从甲、乙两科室各抽取的人数； （2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有名女性的概率； （3）记表示抽取的名工作人员中男性的人数，求的分布列. 参考答案： （1）从甲组应抽取的人数为，从乙组中应抽取的人数为；……3分 （2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率 （或）----------------------------------------------------7分