黑龙江省哈尔滨市德强中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市德强中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=﹣xcosx的部分图象是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别． 【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数； 又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方 故应选D． 【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征． 2. 的值是(    ) A.         B.         C.1            D.-1 参考答案： A 3. 已知函数满足对恒成立，则函数（    ）     A．一定为奇函数               B．一定为偶函数     C．一定为奇函数            D．一定为偶函数 参考答案： D 4.   若不等式的解集是，则函数的图象是（ ） 参考答案： B 5. 已知，且，则(     )   A．           B．          C．          D． 参考答案： B 略 6. 集合A={1，x，y}，B={1，x2，2y}，若A=B，则实数x的取值集合为（　　） A．{} B．{，﹣} C．{0， } D．{0，，﹣} 参考答案： A 【考点】集合的相等． 【分析】根据集合的相等，得到关于x，y的方程组，解出即可． 【解答】解：集合A={1，x，y}， B={1，x2，2y}， 若A=B，则，解得；x=1或0，y=0，显然不成立， 或，解得：x=， 故实数x的取值集合为{}， 故选：A． 7. △ABC中，若，则△ABC的形状为（    ） A．直角三角形           B．等腰三角形       C．等边三角形       D．锐角三角形 参考答案： B 略 8. 在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（　　） A．60° B．120° C．30° D．150° 参考答案： A 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值． 【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc， ∴可得：b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA===， ∵A∈（0°，180°）， ∴A=60°． 故选：A． 9. 已知，若，则等于() A. B. 1 C. 2 D. 参考答案： A 【分析】 首先根据?（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果. 【详解】由 得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1， 化简得，即sin()=, 则sin()= 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题． 10. 方程对应的图象是                                （     ）   参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线l：恒过定点          ，点到直线l的距离的最大值为          ． 参考答案： (2,3)， 直线l：（λ∈R）即λ（y﹣3）+x-2=0， 令，解得x=2，y=3． ∴直线l恒过定点Q（2，3）， P（1，1）到该直线的距离最大值=|PQ|==．   12. 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式Sm+Sn＞cSk恒成立，则实数c的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，2] 【考点】8H：数列递推式． 【分析】，可得n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=﹣1，化为：﹣=1．利用等差数列的通项公式可得Sn=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式Sm+Sn＞cSk恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵，∴n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=﹣1，化为： =Sn﹣1＞0，解得﹣=1． n=1时，﹣1，解得a1=1=S1． ∴数列是等差数列，公差为1． ∴=1+（n﹣1）=n． ∴Sn=n2． 设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式Sm+Sn＞cSk恒成立， 则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2， ∵2≥（m+1+n+1）2=（2k+2）2=4（k+1）2． ∴（m+1）2+（n+1）2≥2（k+1）2， 则实数c的取值范围是c≤2． 故答案为：（﹣∞，2]． 13. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离． 【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1， ∴CC1∥EF， 又EF?平面D1EF，CC1?平面D1EF， ∴CC1∥平面D1EF． ∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离． 过点C1作C1M⊥D1F， ∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1． ∴C1M⊥平面D1EF． 过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C． 取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形． 可得NP⊥平面D1EF， 在Rt△D1C1F中，C1M?D1F=D1C1?C1F，得=． ∴点P到直线CC1的距离的最小值为． 故答案为 　 14. 将关于x的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列{an}，其，，构成等比数列，则          ． 参考答案： 方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标， 由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期 又，，构成等比数列 ，解得 故答案为   15. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为。记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是_____________。 参考答案： 16. 设全集           参考答案： 略 17. 已知等比数列{an}的公比为9，关于x的不等式有下列说法： ①当吋，不等式的解集 ②当吋，不等式的解集为 ③当>0吋，存在公比q，使得不等式解集为 ④存在公比q，使得不等式解集为R. 上述说法正确的序号是_______. 参考答案： ③ 【分析】 利用等比数列的通项公式，解不等式后可得结论． 【详解】由题意， 不等式变为，即， 若，则， 当或时解为，当或时，解为， 时，解为； 若，则， 当或时解为，当或时，解为， 时，不等式无解． 对照A、B、C、D，只有C正确． 故选C． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查解一元二次不等式，难点是解一元二次不等式，注意分类讨论，本题中需对二次项系数分正负，然后以要对两根分大小，另外还有一个是相应的一元二次方程是否有实数解分类（本题已经有两解，不需要这个分类）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f(x)＝x2－2－1(－3≤x≤3)． （1）证明：f(x)是偶函数； （2）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （3）求函数的值域． 参考答案： 解析：（1）定义域为{ x│－3≤x≤3}，关于原点对称．(1分) 因为f(－x)＝(－x)2－2－1＝x2－2－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，(2分) 所以f(x)是偶函数．(3分) （2）当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2， 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2．(4分) 所以f(x)＝(5分) 函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1，0，[0，1]，[1，3]．(6分) f(x)在区间[－3，－1]，[0，1]上为减函数，在[－1，0，[1，3]上为增函数．(7分) （3）当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；(9分) 当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2．(11分) 故函数的值域为[－2，2]．(12分) 19. （本小题满分13分，第（1）小问8分，第（2）小问5分） 设函数的定义域为，函数的定义域为．    （1）若，求实数的取值范围；    （2）设全集为，若非空集合的元素中有且只有一个是整数，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）由，．            ………3分         由得，．                    ………5分 ．                              ………8分 （2）， ．                                    ………10分     的元素中有且只有一个是整数， ．                 略 20. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，，，求AD的长 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知可得：，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得：，问题得解. （2）利用可得：，两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得解. 【详解】解：（1）因为， 所以由正弦定理可得 , 即, 因为,所以，， ,故. （2）由已知得， 所以 , 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了利用平面向量的数量积解决长度问题，考查转化能力及计算能力，属于中档题。 21. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知 （I）设，证明数列{bn}是等比数列. （II）求数列{an}的通项公式. 参考答案： ：（I）见解析. （II）. （I）由成立，则有两式相减得，变形为即，由得 于是，所以数列是首项为3公比是2的等比数列. （II）解法一：由(I)得即所以且， 于是数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 即. 解法二：由(I)得即 ， 点睛：由递推式进行递推，可以寻找规律，根据（I）要求（即提示）变形即可.证明数列最常用的方法是定义法，想到这一点，第（I）题就解决了.根据两个小题的联系，进一步变形寻找规律，求出通项. 22. (本题13分) 如图，一中新校区有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育馆（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝（），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝，阴影部分面积为. （1）求关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）当为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？ 参考答案： ∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函数的定义域为     ...