2022-2023学年山东省济南市济南西城实验中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市济南西城实验中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合，列举法写出集合，由交集的定义求即可. 【详解】由，得，所以,又 所以 故选B． 2．化简的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可. 【详解】 故选：D 3．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，  所以命题“”的否定为：“”.  故选：B. 4．函数（）的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理进行逐一验证. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 则， 即函数的零点所在的区间为. 故选：B. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可 【详解】因为， 所以 所以. 故选：D 6．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得. 【详解】，， . 故选：A. 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得关于a的不等式组，求解得答案． 【详解】当时，单调递减，且 当时，单调递减，则， 因为函数在上单调递减， 所以，解得，故的取值范围为． 故选：A． 8．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为， 故，故，即，解得或. 因为，则，故. 故选：A 二、多选题 9．如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】BC 【分析】利用已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可解得实数的值. 【详解】由已知可得，解得或. 故选：BC. 10．若，，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据基本不等式分别判断选项. 【详解】A.根据基本不等式可知时，，即，所以A正确； B.当时，，当时等号成立， ，当时等号成立，所以当，当时等号成立，故B正确； C.，当时等号成立，故C正确； D.，当时等号成立，又因为，所以等号成立，即，故D不正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查基本不等式，重点考查公式的理解和简单应用，属于基础题型. 11．已知函数则以下判断正确的是（    ） A．若函数有3个零点，则实数的取值范围是 B．函数在上单调递增 C．直线与函数的图象有两个公共点 D．函数的图象与直线有且只有一个公共点 【答案】AC 【分析】作出的图像如图所示，B可直接由图像或二次函数单调性判断；AC零点及交点问题均可以通过与交点个数判断；D通过图像或者联立方程求解即可判断. 【详解】当， 故的图像如图所示， 对AC，函数有3个零点，相当于与有3个交点， 故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC对； 对B，函数在上先增后减，B错； 对D，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数的图象与直线不止一个公共点，D错. 故选：AC 12．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．函数在上为减函数 B．函数为偶函数 C．由可得是的整数倍 D．函数在区间上有19个零点 【答案】AB 【分析】由函数的对称性求出的值，从而可得的解析式．对于A，由三角函数的性质即可判断；对于B，化简即可判断；对于C，当，时，即可得出判断；对于D，令，则，由题意解得，由此即可判断． 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，，可得， 又，所以， 所以． 对于A，当时，，由正弦函数性质知是减函数，故A正确； 对于B，是偶函数，故B正确； 对于C，当，时，，但不是的整数倍，故C错误； 对于D，令，则，即， 由，解得， 因为，所以，因此在区间上有20个零点，故D错误， 故选：AB． 三、填空题 13．当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 14．______. 【答案】 【分析】根据，化简整理，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， ∴原式. 故答案为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型. 15．已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______. 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为 ,解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题. 16．若函数在区间上递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】令，则，结合及复合函数单调性得解． 【详解】令，则， 函数的对称轴为，如图所示： 若函数在区间上递减，只需在区间上单调递减， 由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减， 又真数，且在上单调递减， 故只需当时， ， 代入解得，所以a的取值范围是[1，2） 故答案为：. 四、解答题 17．（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）1 （2）2 【分析】（1）利用指数、对数的运算及其运算性质计算求解. （2）分子分母同时除以，把弦化切进行求解. 【详解】（1）原式= = = =1 （2）因为，且， 所以分子分母同除以有： ， 即， 解得 . 18．已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由同角平方关系可得，再由二倍角正余弦公式有、，最后利用和角正弦公式求值. （2）由题设可得，根据，结合差角余弦公式求出对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由，，则， 所以，， 而. （2）由题设，而，则， 而. 又，则. 19．已知关于的不等式的解集为. （1）求集合； （2）若，求函数的最值． 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）由得，可解出实数的范围，即可得出集合； （2）换元，可得出，则，问题转化为求二次函数在上的最值问题，然后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得，解的， 因此，； （2）， ，则，二次函数， 当时，， 又当时，，当时，，. 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型函数的最值问题，解题的关键就是利用换元法将对数型函数的最值问题转化为二次函数的最值问题来求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 20．已知函数. (1)，求函数的单调区间； (2)求函数的解集. 【答案】(1)单增区间是，单减区间是； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得； （2）根据余弦函数的图象和性质即得. 【详解】（1）因为 ， 令，得， 令，得， 故函数的递调递增区间为，单调递减区间为， 又， 所以函数的单增区间是，单减区间是； （2）由，可得， 所以， 即， 所以不等式的解集是. 21．某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元） (1)分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数； (2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)6.25万元，4.0625万元 【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式； （2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625. 【详解】（1）因为A产品的利润与投资额成正比，故设， 将代入，解得：， 故， 因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设， 将代入，解得：，解得：， 故； （2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为万元，创业团队获得的利润为y万元， 则. 令，可得， 即. 当，即时，y取得最大值4.0625. 答：当B产品的投资额为6.25万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润.获得的最大利润为4.0625万元. 22．已知函数是定义在上的奇函数且 (1)求函数的解析式； (2)判断函数的单调性；并利用单调性定义证明你的结论； (3)设，当，使得成立，试求实数的所有可能取值. 【答案】(1) (2)函数在上增函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数的解析式； （2）利用函数单调性定义去证明函数在上为增函数； （3）利用函数在上为增函数，构造关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由在上的奇函数， 所以，则，则 由，得，所以.经检验符合题意； （2）函数在上增函数，证明如下： 设，且， 则， 又，所以，因为，所以， 所以，则， 故函数在上增函数； （3），使得成立， 即，使得成立， 即， ∵，即， 使得成立， ，使得， 即，且， 即且， 当时，， 即且，解得：.