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上海市钟山高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知3∈{1,a,a﹣2},则实数a的值为( )
A.3 B.5 C.3或 5 D.无解
参考答案:
B
【考点】元素与集合关系的判断.
【分析】根据元素与集合的关系进行判断.
【解答】解:3∈{1,a,a﹣2},
当a=3时,那么:a﹣2=1,违背集合元素的互异性,不满足题意.
当a﹣2=3时,a=5,集合为{1,5,3}满足题意.
∴实数a的值为5.
故选B
2. 函数的零点的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
3. 已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.﹣3≤a<0 B.﹣3≤a≤﹣2 C.a≤﹣2 D.a<0
参考答案:
B
【考点】3F:函数单调性的性质;3W:二次函数的性质.
【分析】由函数f(x)上R上的增函数可得函数,设g(x)=﹣x2﹣ax﹣5,h(x)=,则可知函数g(x)在x≤1时单调递增,函数h(x)在(1,+∞)单调递增,且g(1)≤h(1),从而可求
【解答】解:∵函数是R上的增函数
设g(x)=﹣x2﹣ax﹣5(x≤1),h(x)=(x>1)
由分段函数的性质可知,函数g(x)=﹣x2﹣ax﹣5在(﹣∞,1]单调递增,函数h(x)=在(1,+∞)单调递增,且g(1)≤h(1)
∴
∴
解可得,﹣3≤a≤﹣2
故选B
4. 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如下图所示,则数据在[50,70)的频率约为( )
A.0.25 B.0.5 C.0.05 D.0.025
参考答案:
C
5. 在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.x<2 C. D.
参考答案:
C
【考点】正弦定理的应用.
【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系,利用B求得A+C;要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°,则和A互补的角大于135°进而推断出A+B>180°与三角形内角和矛盾;进而可推断出45°<A<135°若A=90,这样补角也是90°,一解不符合题意进而可推断出sinA的范围,利用sinA和a的关系求得a的范围.
【解答】解: ==2
∴a=2sinA
A+C=180°﹣45°=135°
A有两个值,则这两个值互补
若A≤45°,则C≥90°,
这样A+B>180°,不成立
∴45°<A<135°
又若A=90,这样补角也是90°,一解
所以<sinA<1
a=2sinA
所以2<a<2
故选C
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
6. 下列大小关系正确的是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:.
考点:诱导公式
8. 函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 已知集合,则( )。
A、 B、或 C、或} D、
参考答案:
D
略
10. (4分)如图,正六边形ABCDEF中,边长为1,|+﹣|=()
A. 1 B. C. 2 D. 3
参考答案:
C
考点: 向量的加法及其几何意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由,,可得|+﹣|=||==,利用数量积运算性质即可得出.
解答: ∵,
∴|+﹣|=||=====2.
故选:C.
点评: 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=﹣,则f(x)有最 值为 .
参考答案:
大;1.
【考点】函数的最值及其几何意义;函数的值域.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】先求出函数的定义域,利用分子有理化,判断函数的单调性即可.
【解答】解:由得,即x≥0,则函数的定义域为[0,+∞),
f(x)=﹣==,则f(x)为减函数,
则函数有最大值,此时最大值为f(0)=1,
故答案为:大,1
【点评】本题主要考查函数最值的求解,利用分子有理化是解决本题的关键.
12. 定义:f1(x)=f(x),当n≥2且x∈N*时,fn(x)=f(fn﹣1(x)),对于函数f(x)定义域内的x0,若正在正整数n是使得fn(x0)=x0成立的最小正整数,则称n是点x0的最小正周期,x0称为f(x)的n~周期点,已知定义在[0,1]上的函数f(x)的图象如图,对于函数f(x),下列说法正确的是 (写出所有正确命题的编号)
①1是f(x)的一个3~周期点;
②3是点的最小正周期;
③对于任意正整数n,都有fn()=;
④若x0∈(,1],则x0是f(x)的一个2~周期点.
参考答案:
①②③
【考点】命题的真假判断与应用;函数的图象.
【分析】根据已知中点x0的最小正周期,x0称为f(x)的n~周期点的定义,逐一分析四个结论的真假可得答案.
【解答】解:f1(1)=f(1)=0,f2(1)=f(f1(1))=f(0)=,f3(1)=f(f2(1))=f()=1,
故①1是f(x)的一个3~周期点,正确;
f1()=f()=1,f2()=f(f1())=f(1)=0,f3()=f(f2())=f(0)=,
故②3是点的最小正周期,正确;
由已知中的图象可得:f()=,
故f1()=f()=,f2()=f(f1())=f()=,f3()=f(f2())=f()=,…
故③对于任意正整数n,都有fn()=,正确;
④若x0=1,则x0∈(,1],但x0是f(x)的一个3~周期点,故错误.
故答案为:①②③
13. 设公比为的等比数列{}的前项和为,若, 则=________.
参考答案:
14. 满足的集合的个数为_________.
参考答案:
8
15. ABCD是四面体,若M、N分别是的重心,则的关系是_____________;
参考答案:
16. 如图,在直四棱柱A1B1C1 D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_________时,有A1 B⊥B1 D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)
参考答案:
(答案不唯一)
略
17. 若关于x的不等式在R上恒成立,则a的最大值是_________.
参考答案:
1
【分析】
利用绝对值三角不等式的性质,可以求出的最小值,最后求出的最大值.
【详解】,所以,解得,所以的最大值为1.
【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式的性质解决不等式恒成立问题,解题的关键是对绝对值三角不等式性质的正确理解.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
参考答案:
∵A∪B=A,∴B?A.
又A={x|-2≤x≤5},
当B=时,由m+1>2m-1,
解得m<2.
当B≠时,则
解得2≤m≤3.
综上可知,m∈(-∞,3].
19. 设不等式的解集为M,求当x∈M时函数的最大、最小值.
参考答案:
解:由得,……………2分
解得:, …Ks5u…4分
所以, ……………5分
所以 ……………6分
= ……………8分
令,则 ……………9分
所以在上单调递减, ……………10分
所以当时取最小值为,当取最大值为8……………13分。
略
20. 中,若,且为锐角,求角.
参考答案:
因为,且为锐角,
所以,
所以C=135°。
【解析】略
21. 已知函数在定义域上为增函数,且满足, .
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 解不等式.
参考答案:
(1)
(2)
而函数f(x)是定义在上为增函数
即原不等式的解集为
22. (本题14分)已知函数
(1)求的表达式;
(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围;
(3)若中,,且,求实数的取值范围.
参考答案:
(1) ……………………3分
(2)
即
……………………8分
(3)
……………………10分
又是奇函数和增函数 ……………………12分
……………………14分
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