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河南省焦作市沁阳海泉中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设~N(0,1),且P(<1.623)=p,那么P(-1.623)的值是
A p B -p C 0.5-p D p-0.5
参考答案:
D
2. 2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是 ( )
A.-<x<3 B.-<x<0 C.-3<x< D.-1<x<6
参考答案:
D
3. 不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集为( )
A.[﹣1,) B.[﹣1,1] C.(,1] D.[﹣1,]
参考答案:
D
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】对x分x<,≤x≤1与x>1范围的讨论,去掉原不等式左端的绝对值符号,从而易解不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集.
【解答】解:当x<时,|x﹣1|+|2x﹣1|≤5?﹣x+1﹣2x+1≤5,
解得:﹣1≤x<;
当≤x≤1时,|x﹣1|+|2x﹣1|≤5?﹣x+1+2x﹣1≤5恒成立,
∴≤x≤1;
当x>1时,|x﹣1|+|2x﹣1|≤5?x﹣1+2x﹣1=3x﹣2≤5,
解得:1<x≤.
综上所述,不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集为[﹣1,].
故选:D.
4. (B)若,,且和的等差中项是1,则的最小值是( )
A. B. C. D.1
参考答案:
B
5. 已知点(4,0)到双曲线C: (a>0 , b>0)渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 已知椭圆的左、右焦点分別为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若是以A为直角项点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知定函数,则( )
A. 2 B. C. -9 D. 0
参考答案:
D
【分析】
先根据函数的解析式判断出当时函数的周期,将转化为的函数,由此求得相应的函数值.
【详解】当时, .依次类推,当时,,即.故当时,函数的周期为,所以 .故选D.
【点睛】本小题主要考查分段函数性质,考查函数的周期性,考查对数的知识,属于中档题.
8. 已知椭圆和双曲线,
给出下列命题:ks*5@u
①对于任意的正实数,曲线都有相同的焦点;
②对于任意的正实数,曲线都有相同的离心率;
③对于任意的非零实数,曲线都有相同的渐近线;
④对于任意的非零实数,曲线都有相同的离心率.
其中正确的为( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
C
略
9. 如图是四种命题及其相互关系的框图,已知“两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性”.则四种命题中的真命题个数不可能是( )
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
略
10. 曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
A. y=x-1 B. y=-x+l C. y=2x-2 D. y=-2x+2
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过点M(–2,m)、N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为__________.
参考答案:
1
12. 给出下列五个命题:
①函数f(x)=2x﹣1﹣1的图象过定点(,﹣1);
②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1),若f(a)=﹣2则实数a=﹣1或2.
③若1,则a的取值范围是(,1);
④若对于任意x∈R都f(x)=f(4﹣x)成立,则f(x)图象关于直线x=2对称;
⑤对于函数f(x)=lnx,其定义域内任意都满足f()
其中所有正确命题的序号是_____.
参考答案:
③④⑤
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①;由奇函数的定义,解方程可判断②;由对数不等式的解法可判断③;由函数的对称性可判断④;由对数函数的运算性质可判断⑤.
【详解】解:①函数,则,故①错误;
②因为当时, ,且,所以由函数f(x)是定义在R上的奇函数得,故②错误;
③若,可得,故③正确;
④因为,则f(x)图象关于直线x=2对称,故④正确;
⑤对于函数
当且仅当取得等号,其定义域内任意都满足,故⑤正确.
故答案为:③④⑤.
13. 从中,得出的一般性结论是__________.
参考答案:
本题考查归纳推理的应用.观察等式可以看到,等个等式的等号左边有
个数,第一个为,此后依次递增,因此最后一个数字为,而等号右边为,∴得出的一般性的结论是.
【备注】归纳推理通常与数列通项公式的求解或求和等问题相结合进行考查,有时候会融入新的定义等,考查阅读理解能力与归纳推理能力的应用.
14. 幂函数,在是增函数,则
参考答案:
3
15. 已知函数在区间上不是单调函数,则实数a的取值范围是 ▲ .
参考答案:
或函数在递增,在递减,因为函数在区间上不是单调函数,或,或,综上所述,实数的取值范围是,故答案为.
16. 定义域为R的函数满足,且当时,,则当时,的最小值为 .
参考答案:
17. 已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)(1)求不等式|x+3|≥3的解集。
(2)已知关于x的不等式|x+3|-|x-2|≤k恒成立,求k的取值范围。
参考答案:
19. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右下图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数;
(2)从这15天的数据中任取2天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列及数学期望;
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.
参考答案:
(1)由茎叶图可得中位数是
(2) 依据条件,服从超几何分布:
其中,的可能值为
由,
得,
, ,
所以的分布列为:
(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则~
一年中平均有天的空气质量达到一级或二级
20. (本小题满分12分)
如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D中点,N为AC中点.
(1)求异面直线MN和AB所成的角;
(2)求证:MN⊥AB1;
参考答案:
解:(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1D中点,连接AD1,则M为A1D和AD1的交点
在△AD1C中,M、N分别为AD1和AC之中点
∴MN//D-1C,而D1C和DC所成角为45°,又DC//AB
∴MN和AB所在异面角为45°。(6分)
(2)∵M为A1D中点,则M也为AD1中点
在△AD1C中,M,N分别为AD1,AC中点
∴MN//D1C,又D1C⊥DC1且DC1//AB1
∴MN⊥AB1………………………………………(12分)
21. 已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4.
(1)求曲线的方程;
(2)设过的直线与曲线交于、两点,且(为坐标原点),求直线的方程.(14分)
参考答案:
解:(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,
其中,,则.
所以动点M的轨迹方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,
∵,∴.
∵,,
∴.
∴ .…①
由方程组
得.
则,,
代入①,得.
即,解得,或.
所以,直线的方程是或.
略
22. (本小题8分)实数m取什么值时,复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)表示复数z的点在第三象限?
参考答案:
解: ⑴ 复数z为实数,则,解得或; …………2分
(2)复数z为虚数,则,解得且; …………4分
(3)复数z为纯虚数,则解得
……………6分
(4)复数z 对应点在第三象限,则
解得 ……………8分
略
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