河北省承德市蒙古族中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析

河北省承德市蒙古族中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是     （    ） A．8  B． 10     C． D． 参考答案： B 略 2. 平面α截球O的球面所得圆的面积为π,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为（    ） A．π       B．4π          C．4π          D．6π 参考答案： B 球半径，所以球的体积为，选B. 3. 甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表。 1排4号 1排5号 1排8号 2排4号     3排1号 3排5号   4排1号 4排2号 4排8号 丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙。下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话： 甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定。” 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了。” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是 A. 4排8号    B. 3排1号    C. 2排4号    D. 1排5号 参考答案： B 4. 已知b＞a＞0，ab=2，则的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2） 参考答案： A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；导数的综合应用． 【分析】b＞a＞0，ab=2，可得b＞＞a＞0．则==f（b），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：∵b＞a＞0，ab=2， ∴b＞＞a＞0． 则==f（b）， f′（b）==， 可得：b∈时，函数f（b）单调递增；b∈时，函数f（b）单调递减． 因此f（b）在b=+1时取得最大值， ∴f（b）≤=﹣4． ∴的取值范围是（﹣∞，﹣4]． 故选：A． 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 5. 设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C， 由排除D， 故选B 6. 如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】要计算投中阴影部分的概率，根据每次都投镖都能投入圆盘内，圆盘对应的圆心角的度数为360°，阴影部分的圆心角为45°，代入几何概型概率公式，即可得到答案． 【解答】解：圆盘对应的圆心角的度数为360°， 阴影部分的圆心角为45° 故投中阴影部分的概率P==． 故选A 7. 下列选项中,使不等式成立的x的取值范围是（　　） A．(,-1) B．(-1,0)           C．(0,1)            D．(1,+) 参考答案： A 略 8. 设双曲线（）两焦点为，点为双曲线上除顶点外的任意一点，过焦点作的平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹是（　） （A）圆的一部分（B）椭圆的一部分（C）双曲线的一部分（D）抛物线的一部分 参考答案： A 9. 设是一个离散型随机变量，其分布列为： 则等于 A．1        B．1±        C．1－        D．1＋   参考答案： C 略 10. 如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，则截面△EFG（　　） A．一定是等边三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是锐角三角形 D．一定是直角三角形 参考答案： C 【考点】平面的基本性质及推论． 【分析】由已知得∠EGF＜90°，∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，从而截面△EFG是锐角三角形． 【解答】解：用小刀切一块长方体橡皮的一个角， 在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G， 则∠EGF＜∠CBD=90°， 同理∠EFG＜90°，∠GEF＜90°， ∴截面△EFG是锐角三角形， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则x的值为          ． 参考答案： 4或9 由组合数公式的性质，， 可得或， 解得x=4或x=9.   12. 已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足∠APB＞90°，则P点出现的概率为　      　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】在矩形ABCD内以AB为直径作半圆，如图所示．由直径所对的圆周角为直角，可得当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°．因此，算出半圆的面积和矩形ABCD的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P点出现的概率． 【解答】解：在矩形ABCD内，以AB为直径作半圆，如图所示． ∵P点在半圆上时，∠APB=90°， ∴当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°． ∵矩形ABCD中，AB=5，BC=7，∴矩形ABCD的面积S=AB×BC=35． 又∵半圆的面积S'=×π×（）2=， ∴点P出现的概率为P===． 故答案为： 【点评】本题给出矩形ABCD，求矩形内部一点P满足∠APB＞90°的概率．着重考查了半圆、矩形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题． 13. 在△ABC中，已知a=17，则b·CosC＋c·CosB=_________________。 参考答案： 17 14. 已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），则b2015=　　． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件推导出bn+1=，b1=，从而得到数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，由此能求出b2015． 【解答】解：∵an+bn=1，且bn+1=，∴bn+1=， ∵a1=，且a1+b1=1，∴b1=， ∵bn+1=，∴﹣=﹣1， 又∵b1=，∴ =﹣2． ∴数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列， ∴=﹣n﹣1，∴bn=．则b2015=． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用． 15. 过点P ( 1，1 )且与坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是            。 参考答案： 3 16. 已知，则a =____. 参考答案： -2-3i 分析：化简已知的等式，即得 a的值. 详解：由题得，       故答案为：-2-3i 点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 17. 函数在区间[0，π]上的最小值为______________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，． (Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域上的单调性； (Ⅱ)当a=3时，求证：f(x)≤g(x)恒成立． 参考答案： (Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析. 【分析】 (Ⅰ)求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ代入a的值，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，，从而证明结论． 【详解】Ⅰ， 当时，，在递减， 当时，时，， 时，， 故在递减，在递增. (Ⅱ)当时，， 令， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增， 故，显然成立， 故恒成立． 19. (本小题满分12分) 已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．   参考答案： （1）由题意可得， 解得，，故椭圆方程为．    　　 （2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心， 设， 因为，，故．                       于是设直线的方程为， 由得． 由，得， 且,．      由题意应有，又， 故，得． 即．                  整理得．Ks5u 解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．Ks5u 当时，所求直线存在，且直线的方程为． 20. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 21. （本小题满分12分） 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 参考答案： 解：(1)  在点处的切线的斜率， 切线的方程为.                  (2)设切点为，则直线的斜率为， 直线的方程为：． 又直线过点， ， 整理，得， ， ， 的斜率，            直线的方程为，切点坐标为． 22. 已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数． （I）求f（0）的值和实数m的值； （II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明； （III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围． 参考答案： 【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用． 【分析】（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值； （II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性； （III）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0转化为f（b﹣2）＞f（2﹣2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围． 【解答】解：（I）∵f（0）=loga1=0． 因为f（x）是奇函数， 所以：f（﹣x）=﹣f（x）?f（﹣x）+f（x）=0 ∴loga+loga=0； ∴loga=0?=1， 即∴1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．∴m2=1． 所以m=1或m=﹣1（舍） ∴m=1． （II）∵m=1 ∴f（x）=loga； 设 设﹣1＜x1＜x2＜1，则 ∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0 ∴t1＞t2． 当a＞1时，logat1＞logat2， 即f（x1）＞f（x2）． ∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数． 当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）． ∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数． （III）由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0 得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2）， ∵函数f（x）是