江西省赣州市小幕中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

江西省赣州市小幕中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，且，则的最小值为（     ） A．7       B．8        C．9        D．10 参考答案： C 2. 给出下列三个等式：，，.下列函数中不满足其中任何一个等式的是（    ） A .  B.  C..  D. 参考答案： B 3. 以双曲线的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m=（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【详解】注意到． 渐近线方程为，即． 右焦点到渐近线距离为．从而． 故答案为：B 4. 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　) A．            B． C．            D． 参考答案： B 5. 已知直线l过点A（3，4）且与圆相切，则直线l的方程为    （    ） A．4x＋3y＝0    B．4x－3y＝0   C．4x－3y＝0或x＝3   D．4x＋3y＝0或x＝3 参考答案： C 6. 已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是（     ） A．|a|＞|b |          B．a2＞b2         C．a3＞b3        D．＞1 参考答案： C 略 7. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个 正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　) A．4∶3∶2    B．5∶6∶7   C．5∶4∶3    D．6∶5∶4 参考答案： D 8. 如右图是函数的导函数的图像，下列说法错误的是（    ） A. 是函数的极小值点 B .1是函数的极值点 C .在处切线的斜率大于零 D .在区间上单调递增 参考答案： B 略 9. 已知数列{an}是等差数列，且a6+a7=10，则在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的展开式中，x11项的系数是(     ) A．60 B．﹣60 C．30 D．﹣30 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由题意和等差数列的性质得：a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10，再由条件求出x11项的系数是﹣（a1+a2+…+a12），代入即可求出答案． 【解答】解：由题意知，数列{an}是等差数列，且a6+a7=10， 由等差数列的性质得，a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10， ∴在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的展开式中， x11项的系数是﹣（a1+a2+…+a12）=﹣6（a6+a7）=﹣60， 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于中档题． 10. 圆的圆心到直线的距离是（   ） (A)  0                     （B）1                       (C)                     (D) 参考答案： D 试题分析：因圆心为,直线,由点到直线的距离公式可得,故应选D. 考点：圆的标准方程和点到直线的距离公式. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数（），对任意有，且，那么等于              参考答案： 12. 若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有____________ 对． 参考答案： 24 略 13. 如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是　　 百吨． 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 参考答案： 1.75 【考点】线性回归方程． 【分析】求出数据中心代入回归方程得到a，再利用回归方程进行预测． 【解答】解： ==2.5， ==3.5． ∴3.5=﹣0.7×2.5+a，解得a=5.25． ∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25． 当x=5时，y=﹣0.7×5+5.25=1.75． 故答案为：1.75． 【点评】本题考查了线性回归方程的性质，利用线性回归方程进行预测求值，属于基础题． 14. 如图，有一个圆环型花圃，要在花圃的6个部分栽种4种不同颜色的花，　　　 每部分栽种1种，且相邻部分栽种不同颜色的花，则不同的栽种方法有    种。 参考答案： 120 15. 命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是　　． 参考答案： 【考点】命题的否定． 【专题】计算题． 【分析】根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在； 【解答】解：∵命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0” ∵“任意”的否定为“存在” ∴命题的否定为：， 故答案为： 【点评】此题主要考查命题的否定规则，是一道基础题，注意常见的否定词； 16. 设（为虚数单位），则z=           ；|z|=           . 参考答案： -1+i; . 17. 若n为正偶数，则7n+C?7n﹣1+C?7n﹣2+…+C?7被9除所得的余数是　   　． 参考答案： 0 【考点】W1：整除的定义． 【分析】7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7=（7+1）n﹣1=（9﹣1）n﹣1，又由n为正偶数，可得答案． 【解答】解：∵7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7 =（7+1）n﹣1 =（9﹣1）n﹣1=9n+C?9n﹣1（﹣1）1+C?9n﹣2（﹣1）2+…+C?9?（﹣1）n﹣1+C?90?（﹣1）n﹣1， 又由n为正偶数， ∴倒数第二项C?90?（﹣1）n=1，最后一项是﹣1，而从第一项到倒数第三项，每项都能被9整除， ∴7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7被9除所得的余数是0． 故答案为：0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 证明下列不等式： （1）当时，求证：； （2）设，，若，求证：. 参考答案： 解：（1）要证 即证 只要证， 只要证， 只要证，由于， 只要证， 最后一个不等式显然成立，所以 （2）因为，，， 所以 当且仅当，即时，等号成立 所以   19. 设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切． （1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可； （2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知||MT1|﹣|FT1||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，||MP|﹣|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T1的坐标． 【解答】解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0）， 由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2， ∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c， 可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线， 因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1， 所以轨迹L的方程为﹣y2=1； （2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣）， 即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，解得：x1=，x2=， 故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，）， 因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2， ||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2， 综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，﹣）． 20. （本小题满分13分）     甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是，假设每次射击是否命中相互之间没有影响.     （Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；     （Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望. 参考答案： （Ⅰ）解：记“在3次射击中，甲至少有1次命中目标 ”为事件A。        1分 则表示事件“在3次射击中，甲没有命中目标。”                  2分 故            4分 所以。                 6分       （Ⅱ）解：记甲的射击次数为X，则X的可能取值为1，2，3                        7分                                                                  10分 X的分布列为： X 1 2 3 P 11分 （环）。                                       13分 21. 如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形其中,,且. (1)求证:直线平面； (2)试求三棱锥-的体积. 参考答案： 解：(1)在梯形内过点作交于点,则由底面四边形是直角梯形,,,以及可得:,且,.又由题意知面,从而,而,故.因,及已知可得是正方形,从而.因,,且,所以面. (2)因三棱锥与三棱锥是相同的,故只需求三棱锥的体积即可,而,且由面可得,又因为,所以有平面,即为三棱锥的高. 故 略 22. （13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD； （2）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1 （3）求A1B1与平面A1CD所成角的正切值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则DE∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD． （2）推导出CD⊥AA1，CD⊥AB，从而CD⊥面ABB1A1，由此能证明平面A1CD⊥平面ABB1A1． （3）作B1E⊥A1D于E，则∠B1A1E为所