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江西省赣州市小幕中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,且,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
C
2. 给出下列三个等式:,,.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A . B. C.. D.
参考答案:
B
3. 以双曲线的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切.则m=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【详解】注意到.
渐近线方程为,即.
右焦点到渐近线距离为.从而.
故答案为:B
4. 设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a+2b|=( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
5. 已知直线l过点A(3,4)且与圆相切,则直线l的方程为 ( )
A.4x+3y=0 B.4x-3y=0 C.4x-3y=0或x=3 D.4x+3y=0或x=3
参考答案:
C
6. 已知实数a、b满足“a>b”,则下列不等式中正确的是( )
A.|a|>|b | B.a2>b2 C.a3>b3 D.>1
参考答案:
C
略
7. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个
正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C为( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
参考答案:
D
8. 如右图是函数的导函数的图像,下列说法错误的是( )
A. 是函数的极小值点
B .1是函数的极值点
C .在处切线的斜率大于零
D .在区间上单调递增
参考答案:
B
略
9. 已知数列{an}是等差数列,且a6+a7=10,则在(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a12)的展开式中,x11项的系数是( )
A.60 B.﹣60 C.30 D.﹣30
参考答案:
B
【考点】等差数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由题意和等差数列的性质得:a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10,再由条件求出x11项的系数是﹣(a1+a2+…+a12),代入即可求出答案.
【解答】解:由题意知,数列{an}是等差数列,且a6+a7=10,
由等差数列的性质得,a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10,
∴在(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a12)的展开式中,
x11项的系数是﹣(a1+a2+…+a12)=﹣6(a6+a7)=﹣60,
故选:B.
【点评】本题考查等差数列的性质的灵活应用,属于中档题.
10. 圆的圆心到直线的距离是( )
(A) 0 (B)1 (C) (D)
参考答案:
D
试题分析:因圆心为,直线,由点到直线的距离公式可得,故应选D.
考点:圆的标准方程和点到直线的距离公式.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数(),对任意有,且,那么等于
参考答案:
12. 若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有____________ 对.
参考答案:
24
略
13. 如表是某单位1﹣4月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知,用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a,由此可预测该单位第5个月的用水量是 百吨.
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
参考答案:
1.75
【考点】线性回归方程.
【分析】求出数据中心代入回归方程得到a,再利用回归方程进行预测.
【解答】解: ==2.5, ==3.5.
∴3.5=﹣0.7×2.5+a,解得a=5.25.
∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25.
当x=5时,y=﹣0.7×5+5.25=1.75.
故答案为:1.75.
【点评】本题考查了线性回归方程的性质,利用线性回归方程进行预测求值,属于基础题.
14. 如图,有一个圆环型花圃,要在花圃的6个部分栽种4种不同颜色的花,
每部分栽种1种,且相邻部分栽种不同颜色的花,则不同的栽种方法有 种。
参考答案:
120
15. 命题“?x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是 .
参考答案:
【考点】命题的否定.
【专题】计算题.
【分析】根据命题的否定的规则进行求解,注意“任意”的“否定”为存在;
【解答】解:∵命题“?x∈R,x2﹣x+1>0”
∵“任意”的否定为“存在”
∴命题的否定为:,
故答案为:
【点评】此题主要考查命题的否定规则,是一道基础题,注意常见的否定词;
16. 设(为虚数单位),则z= ;|z|= .
参考答案:
-1+i; .
17. 若n为正偶数,则7n+C?7n﹣1+C?7n﹣2+…+C?7被9除所得的余数是 .
参考答案:
0
【考点】W1:整除的定义.
【分析】7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7=(7+1)n﹣1=(9﹣1)n﹣1,又由n为正偶数,可得答案.
【解答】解:∵7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7
=(7+1)n﹣1
=(9﹣1)n﹣1=9n+C?9n﹣1(﹣1)1+C?9n﹣2(﹣1)2+…+C?9?(﹣1)n﹣1+C?90?(﹣1)n﹣1,
又由n为正偶数,
∴倒数第二项C?90?(﹣1)n=1,最后一项是﹣1,而从第一项到倒数第三项,每项都能被9整除,
∴7n+Cn1?7n﹣1+Cn2?7n﹣2+…+Cnn﹣1?7被9除所得的余数是0.
故答案为:0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 证明下列不等式:
(1)当时,求证:;
(2)设,,若,求证:.
参考答案:
解:(1)要证
即证
只要证,
只要证,
只要证,由于,
只要证,
最后一个不等式显然成立,所以
(2)因为,,,
所以
当且仅当,即时,等号成立
所以
19. 设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x﹣)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标.
参考答案:
【考点】圆方程的综合应用.
【分析】(1)根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径,根据两圆内切时,两圆心之间的距离等于两半径相减,外切时,两圆心之间的距离等于两半径相加,可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2,得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4,且小于两圆心的距离2,可知圆心C的轨迹为以原点为中心,焦点在x轴上的双曲线,根据a与c的值求出b的值,写出轨迹L的方程即可;
(2)根据点M和F的坐标写出直线l的方程,与双曲线L的解析式联立,消去y后得到关于x的方程,求出方程的解即可得到两交点的横坐标,把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标,得到直线l与双曲线L的交点坐标,然后经过判断发现T1在线段MF外,T2在线段MF内,根据图形可知||MT1|﹣|FT1||=|MF|,利用两点间的距离公式求出|MF|的长度,当动点P与点T2重合时||MT2|﹣|FT2||<|MF|,当动点P不是直线l与双曲线的交点时,根据两边之差小于第三边得到|MP|﹣|FP|<|MF|,综上,得到动点P与T1重合时,||MP|﹣|FP||取得最大值,此时P的坐标即为T1的坐标.
【解答】解:(1)两圆的半径都为2,两圆心为F1(﹣,0)、F2(,0),
由题意得:|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2,
∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a<|F1F2|=2=2c,
可知圆心C的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上,且实轴为4,焦距为2的双曲线,
因此a=2,c=,则b2=c2﹣a2=1,
所以轨迹L的方程为﹣y2=1;
(2)过点M,F的直线l的方程为y=(x﹣),
即y=﹣2(x﹣),代入﹣y2=1,解得:x1=,x2=,
故直线l与双曲线L的交点为T1(,﹣),T2(,),
因此T1在线段MF外,T2在线段MF内,故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2,
||MT2|﹣|FT2||<|MF|=2,若点P不在MF上,则|MP|﹣|FP|<|MF|=2,
综上所述,|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2,此时点P的坐标为(,﹣).
20. (本小题满分13分)
甲同学在军训中,练习射击项目,他射击命中目标的概率是,假设每次射击是否命中相互之间没有影响.
(Ⅰ)在3次射击中,求甲至少有1次命中目标的概率;
(Ⅱ)在射击中,若甲命中目标,则停止射击,否则继续射击,直至命中目标,但射击次数最多不超过3次,求甲射击次数的分布列和数学期望.
参考答案:
(Ⅰ)解:记“在3次射击中,甲至少有1次命中目标 ”为事件A。 1分
则表示事件“在3次射击中,甲没有命中目标。” 2分
故 4分
所以。 6分
(Ⅱ)解:记甲的射击次数为X,则X的可能取值为1,2,3 7分
10分
X的分布列为:
X
1
2
3
P
11分
(环)。 13分
21. 如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形其中,,且.
(1)求证:直线平面;
(2)试求三棱锥-的体积.
参考答案:
解:(1)在梯形内过点作交于点,则由底面四边形是直角梯形,,,以及可得:,且,.又由题意知面,从而,而,故.因,及已知可得是正方形,从而.因,,且,所以面.
(2)因三棱锥与三棱锥是相同的,故只需求三棱锥的体积即可,而,且由面可得,又因为,所以有平面,即为三棱锥的高. 故
略
22. (13分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,各棱长均为2,D为AB的中点.
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)求证:平面A1CD⊥平面ABB1A1
(3)求A1B1与平面A1CD所成角的正切值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则DE∥BC1,由此能证明BC1∥平面A1CD.
(2)推导出CD⊥AA1,CD⊥AB,从而CD⊥面ABB1A1,由此能证明平面A1CD⊥平面ABB1A1.
(3)作B1E⊥A1D于E,则∠B1A1E为所
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