资源描述
2022-2023学年广东省江门市东河中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且(),若,,则( )
A. 0 B. 3 C. 8 D. 11
参考答案:
B
由题意可设等差数列的首项为,公差为,所以所以,所以,即=2n-8,
=,所以,选B.
2. 若,对,是真命题,则的最大取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 己知a>l,b<-l,则函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.第三象限
参考答案:
C
略
4. 函数在上的图像大致为
参考答案:
C
5. 函数,当上恰好取得5个最大值,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
先求出取最大值时的所有的解,再解不等式,由解的个数决定出的取值范围。
【详解】设,所以,解得 ,
所以满足的值恰好只有5个,
所以的取值可能为0,1,2,3,4,由
,故选C。
【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法,意在考查学生的数学运算能力。
6. 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
函数y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
函数y= 在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
函数y=|x|在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
函数y= 在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意;
故选:D.
7. 已知向量=(3, 2),=(-6,1),而(λ+)⊥(-λ),则实数λ等于 ( )
A.1或2 B.2或- C.2 D.0
参考答案:
B
略
8. 已知扇形AOB(O为圆心)对应的圆心角为120°,点P在弧AB上,且,则往扇形AOB内投掷一点,该点落在内的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据扇形面积公式求得扇形面积;再根据弧长关系可得,从而可求得的面积,根据几何概型可求得结果.
【详解】设扇形的半径为,则
又
则该点落在内的概率为:
本题正确选项:
【点睛】本题考查几何概型求解概率问题,涉及到扇形面积公式的应用.
9. 在等差数列{an}中,,则的值为
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
参考答案:
A
解析:由角标性质得,所以=5
10. 已知是单位向量,,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,那么
参考答案:
略
12. 已知,若和的夹角是锐角,则的取值范围是___ _.
参考答案:
略
13. 求值= .
参考答案:
9
14. (5分)tan= .
参考答案:
﹣
考点: 运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
解答: tan=tan(π﹣)=﹣tan=﹣.
故答案为:﹣
点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
15. 若函数,则=___________.
参考答案:
0
略
16. 函数y=|x2﹣4x|的增区间是 .
参考答案:
[0,2]和[4,+∞)
【考点】5B:分段函数的应用.
【分析】画出函数y=|x2﹣4x|的图象,数形结合可得答案.
【解答】解:函数y=|x2﹣4x|=的图象如下图所示:
由图可得:函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0,2]和[4,+∞),(区间端点可以为开),
故答案为:[0,2]和[4,+∞)
17. 已知数列{an}为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为Tn,则使不等式成立的最大正整数n的值是_______.
参考答案:
6
【分析】
设等比数列{an}的公比q,由于是正项的递增等比数列,可得q>1.由a1+a5=82,a2?a4=81=a1a5,∴a1,a5,是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根,解得a1,a5,利用通项公式可得q,an.利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn.代入不等式2019|Tn﹣1|>1,化简即可得出.
【详解】数列为正项的递增等比数列,,a2?a4=81=a1a5,
即解得,则公比,∴,
则 ,
∴,即,得,此时正整数的最大值为6.
故答案为6.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点P(2,1)是圆内一点,直线.
(1)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分,求弦AB所在直线的方程;
(2)若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF,GH,求四边形EGFH的面积的最大值;
(3)若,Q是l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D.证明:直线CD过定点.
参考答案:
解:(1)由题意知,∴,∵,∴,
因此弦AB所在直线方程为,即.
(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为,则,
,.
∴,
,当时取等号.
所以四边形EGFH面积的最大值为11.
(3)由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上,设,
则该圆的方程为,即:.
又C、D在圆上,
所以直线CD的方程为,即,
由得,所以直线CD过定点(1,-2).
19. (12分)在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,若
参考答案:
解:
---------------3分
-----------------------------------8分
--------------------------------------------------------10分
所以A=60° ---------------------------------------------------12分
略
20. (本小题满分12分)函数是定义在上的奇函数.
(1)求函数的解析式;
(2)用单调性定义证明函数在上是增函数.
参考答案:
(I)∵函数是定义在上的奇函数,……2分
故,所以, ………4分
所以 . ………5分
(II) 设,, ………6分
则
………8分
∵ ∴ , ………10分
∴ 而 ∴ ………11分
∴在上是增函数. ………12分
21. 如图所示,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边为半圆的直径,为半圆的圆心,,,现要将此铁皮剪出一个三角形,使得,.
(Ⅰ)设,求三角形铁皮的面积;
(Ⅱ)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.
.
参考答案:
解:(1)由题意知,
,即三角形铁皮的面积为;
(Ⅱ)设则令,由于,则有所以
且,所以
故,
而函数在区间上单调递增,
故当时,取得最大值
略
22. 探究函数f(x)=x+,x∈(﹣∞,0)的最大值,并确定取得最大值时x的值.列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
x
…
﹣3
﹣2.3
﹣2.2
﹣2.1
﹣2
﹣1.9
﹣1.7
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
…
y
…
﹣4.3
﹣4.04
﹣4.02
﹣4.005
﹣4
﹣4.005
﹣4.05
﹣4.17
﹣5
﹣8.5
…
(1)函数f(x)=x+,x∈(﹣∞,0)在区间 上为单调递增函数.当x= 时,f(x)最大= .
(2)证明:函数f(x)=x+在区间[﹣2,0)为单调递减函数.
(3)若函数在x∈[﹣2,﹣1]上,满足h(x)≥0恒成立,求a的范围.
参考答案:
(1)(﹣∞,﹣2) . ﹣2 ,﹣4 .
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的性质.
【分析】(1)由表格可知函数f(x)=x+在(﹣∞,﹣2)上递增;当x=﹣2时,y最大=4.
(2)证明单调性可用定义法.
(3)h(x)≥0恒成立,只需h(x)min≥0.函数h(x)变形为h(x)=x+﹣a,借用(2)中函数的单调性求出最小值.
【解答】解:(1)由表格可知,f(x)=x+在(﹣∞,0)上函数值先增大后减小,单调增区间为(﹣∞,﹣2),且当x=﹣2时f(x)最大=﹣4.
(2)证明:设x1,x2∈[﹣2,0),且x1<x2.
f(x1)﹣f(x2)=﹣()=x1﹣x2+﹣=(x1﹣x2)(1﹣)=
∵x1<x2,
∴x1﹣x2<0
又∵x1,x2∈(﹣2,0)
∴0<x1x2<4
∴x1x2﹣4<0
∴f(x1)﹣f(x2)>0
∴函数在(﹣2,0)上为减函数.
(3)函数=x+﹣a,由(2)知,x+在x∈[﹣2,﹣1]上单调递减,
所以h(x)min=h(﹣1)=﹣5﹣a.
h(x)≥0恒成立,只需h(x)min≥0,
即﹣5﹣a≥0,解得a≤﹣5.
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索