2022-2023学年广东省江门市东河中学高一数学理月考试卷含解析

2022-2023学年广东省江门市东河中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且（），若，，则（   ） A. 0 B. 3 C. 8 D. 11 参考答案： B 由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8, =,所以,选B. 2. 若，对，是真命题，则的最大取值范围是（　　） Ａ．                     Ｂ． Ｃ．                Ｄ． 参考答案： C 3. 己知a>l，b<-l，则函数的图象不经过(    )     A．第一象限    B．第二象限    C．第四象限    D．第三象限 参考答案： C 略 4. 函数在上的图像大致为 参考答案： C 5. 函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围。 【详解】设，所以，解得 ， 所以满足的值恰好只有5个， 所以的取值可能为0,1,2,3,4，由 ，故选C。 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力。 6. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的函数是（   ） A．       B．             C．      D． 参考答案： D 函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意； 函数y= 在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意； 函数y=|x|在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意； 函数y= 在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意； 故选：D．   7. 已知向量＝(3, 2)，＝(－6,1)，而(λ＋)⊥(－λ)，则实数λ等于 (　　) A．1或2        B．2或－        C．2       D．0 参考答案： B 略 8. 已知扇形AOB（O为圆心）对应的圆心角为120°，点P在弧AB上，且，则往扇形AOB内投掷一点，该点落在内的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据扇形面积公式求得扇形面积；再根据弧长关系可得，从而可求得的面积，根据几何概型可求得结果. 【详解】设扇形的半径为，则 又        则该点落在内的概率为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查几何概型求解概率问题，涉及到扇形面积公式的应用. 9. 在等差数列{an}中，，则的值为 A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 参考答案： A 解析：由角标性质得，所以=5 10. 已知是单位向量，，且，则与的夹角为（   ）   A.             B.           C.           D.  参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，那么            参考答案： 略 12. 已知，若和的夹角是锐角，则的取值范围是___    _.   参考答案： 略 13. 求值=         ． 参考答案： 9 14. （5分）tan=           ． 参考答案： ﹣ 考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答： tan=tan（π﹣）=﹣tan=﹣． 故答案为：﹣ 点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 15. 若函数，则＝___________. 参考答案： 0 略 16. 函数y=|x2﹣4x|的增区间是　   　． 参考答案： [0，2]和[4，+∞） 【考点】5B：分段函数的应用． 【分析】画出函数y=|x2﹣4x|的图象，数形结合可得答案． 【解答】解：函数y=|x2﹣4x|=的图象如下图所示： 由图可得：函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0，2]和[4，+∞），（区间端点可以为开）， 故答案为：[0，2]和[4，+∞） 17. 已知数列{an}为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为Tn，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______． 参考答案： 6 【分析】 设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列为正项的递增等比数列，，a2?a4=81=a1a5， 即解得，则公比，∴， 则 ， ∴，即，得，此时正整数的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点P(2,1)是圆内一点，直线. （1）若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分，求弦AB所在直线的方程； （2）若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH的面积的最大值； （3）若，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D.证明：直线CD过定点. 参考答案： 解：（1）由题意知，∴，∵，∴， 因此弦AB所在直线方程为，即. （2）设点O到直线EF、GH的距离分别为，则， ，. ∴， ，当时取等号. 所以四边形EGFH面积的最大值为11. （3）由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上，设， 则该圆的方程为，即：. 又C、D在圆上， 所以直线CD的方程为，即， 由得，所以直线CD过定点(1,－2).   19. （12分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 参考答案： 解：      ---------------3分          -----------------------------------8分         --------------------------------------------------------10分 所以A=60°  ---------------------------------------------------12分 略 20. (本小题满分12分)函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式； （2）用单调性定义证明函数在上是增函数. 参考答案： （I）∵函数是定义在上的奇函数，……2分 故，所以，                   ………4分 所以 .                              ………5分                     （II） 设，，         ………6分 则                                          ………8分 ∵     ∴ ，       ………10分 ∴ 而      ∴      ………11分 ∴在上是增函数.                                ………12分 21. 如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得,. (Ⅰ)设，求三角形铁皮的面积；     (Ⅱ)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值. . 参考答案： 解：（1）由题意知， ，即三角形铁皮的面积为； （Ⅱ）设则令，由于，则有所以 且，所以   故， 而函数在区间上单调递增， 故当时，取得最大值   略 22. 探究函数f（x）=x+，x∈（﹣∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下： 请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题． x … ﹣3 ﹣2.3 ﹣2.2 ﹣2.1 ﹣2 ﹣1.9 ﹣1.7 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 … y … ﹣4.3 ﹣4.04 ﹣4.02 ﹣4.005 ﹣4 ﹣4.005 ﹣4.05 ﹣4.17 ﹣5 ﹣8.5 … （1）函数f（x）=x+，x∈（﹣∞，0）在区间        上为单调递增函数．当x=       时，f（x）最大=       ． （2）证明：函数f（x）=x+在区间[﹣2，0）为单调递减函数． （3）若函数在x∈[﹣2，﹣1]上，满足h（x）≥0恒成立，求a的范围． 参考答案： （1）（﹣∞，﹣2） ． ﹣2 ，﹣4 ． 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质． 【分析】（1）由表格可知函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣2）上递增；当x=﹣2时，y最大=4． （2）证明单调性可用定义法． （3）h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．函数h（x）变形为h（x）=x+﹣a，借用（2）中函数的单调性求出最小值． 【解答】解：（1）由表格可知，f（x）=x+在（﹣∞，0）上函数值先增大后减小，单调增区间为（﹣∞，﹣2），且当x=﹣2时f（x）最大=﹣4． （2）证明：设x1，x2∈[﹣2，0），且x1＜x2． f（x1）﹣f（x2）=﹣（）=x1﹣x2+﹣=（x1﹣x2）（1﹣）= ∵x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0 又∵x1，x2∈（﹣2，0） ∴0＜x1x2＜4 ∴x1x2﹣4＜0 ∴f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴函数在（﹣2，0）上为减函数． （3）函数=x+﹣a，由（2）知，x+在x∈[﹣2，﹣1]上单调递减， 所以h（x）min=h（﹣1）=﹣5﹣a． h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0， 即﹣5﹣a≥0，解得a≤﹣5．