江西省新余市群英文武学校2022年高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若方程只有一个实数解,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
方程只有一个实数解,等价于有一个解,即的图象有一个交点,利用导数研究函数的单调性、极值,画出函数图象,利用数形结合可得结果.
【详解】
方程只有一个实数解,等价于有一个解,
即的图象有一个交点,
设,则,
由,得;
由,得或,
所以在上递增,在上递减,
的极大值为,
当时,;当时,;
画出函数图象,如图,
由图可知当,当或时,的图象有一个交点,
此时,方程只有一个实数解,
所以,的取值范围为,故选B.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,考查了导数的应用,考查了数形结合思想,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.
2. 已知数列,则是这个数列的( )
A. 第6项 B. 第7项 C. 第19项 D. 第11项
参考答案:
B
解:数列即: ,据此可得数列的通项公式为: ,
由 解得: ,即 是这个数列的第 项.
本题选择B选项.
3. 对任意实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“[x-y]<1”是“[x]=[y]”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
4. 已知集合A={x|<0},B={x||x-1|>1},则A∩B=
A (-1,0) B(2,3) C (-1,0)∪(2,3) D
参考答案:
C
略
5. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,则a=( )
A.﹣3 B.﹣ C.﹣6 D.
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】计算题.
【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,故它们的斜率相等,故有﹣=3,由此解得a的值.
【解答】解:由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,故它们的斜率相等,故有﹣=3,解得 a=﹣6,
故选C.
【点评】本题主要考查两直线平行的性质,两直线平行,斜率相等,属于基础题.
6. 用数学归纳法证明:“”.从“到”左端需增乘的代数式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时的假设为( )
A.三个内角中至多有一个不大于60° B.三个内角中至少有两个不大于60°
C. 三个内角都不大于60° D.三个内角都大于60°
参考答案:
D
由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”,故选D.
8. 中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点, 若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( )
A.3 B.2 C. D.
参考答案:
B
9. 点在椭圆上,则的最大值为
A. B. C.5 D.6
参考答案:
A
10. 在平面直角坐标系中,若不等式组(为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
解析:如图可得即为满足
的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积是1;a=2时,面积是;当a=3时,面积恰好为2,故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线的斜率为3,直线经过点,若直线则______.
参考答案:
12. 函数定义域为 .
参考答案:
13. 在平面内,是平面的一条斜线,若已知
,则与平面所成的角的余弦值等于
参考答案:
略
14. 在极坐标系中,已知两点,,则A,B两点间的距离为______.
参考答案:
5
【分析】
先化直角坐标,再根据两点间距离求解.
【详解】由两点,,得,两点的直角坐标分别为,,
由两点间的距离公式得:.
故答案为:5.
【点睛】本题考查极坐标化直角坐标以及两点间的距离公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
15. 若,且,则tanx的值为__________。
参考答案:
16. 抛物线的直线方程为 .
参考答案:
抛物线可化为,,
准线方程为,
故答案为:
17. 观察下列等式:
(sin)﹣2+(sin)﹣2=×1×2;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+sin()﹣2=×2×3;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×3×4;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×4×5;
…
照此规律,
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+(sin)﹣2= .
参考答案:
n(n+1)
【考点】归纳推理.
【分析】由题意可以直接得到答案.
【解答】解:观察下列等式:
(sin)﹣2+(sin)﹣2=×1×2;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+sin()﹣2=×2×3;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×3×4;
(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+sin()﹣2=×4×5;
…
照此规律(sin)﹣2+(sin)﹣2+(sin)﹣2+…+(sin)﹣2=×n(n+1),
故答案为:n(n+1)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题16分)已知函数.
(1)证明:函数f(x)在(-2,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明:方程没有负数根.
参考答案:
解:(1)证法1:任取,不妨设,则,,所以
又因为,所以
于是,
故函数在(-2,+∞)上为增函数.……………………………………………8分
证法2: ,
在上恒成立,即在上为增函数.
(2)假设存在满足
则,因为,,所以,所以,解得,与假设矛盾.
故方程没有负数根. ………………………………………………16分
19. (14分)已知=a+b+cx(a0)在x=±1时取得极值且f(1)= -1
试求常数a、b、c的值并求极值。
参考答案:
解:=3a+2bx+c,.…………3分
∵在x=±1时取得极值∴x=±1是=0即3a+2bx+c=0的两根………6分
∴ ∵f(1)= -1 ∴ a+b+c=-1(3)
由(1),(2),(3)得a=, b=0,c=………10分
∴= x,∴=(x –1)(x+1)
当x<-1或x>1时,>0,当-1
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