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江苏省无锡市石塘湾中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列的前项,前项,前项的和分别为,,,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 已知,则的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. .已知复数 =( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
本题首先可以对复数分子分母同时乘以,然后根据以及运算法则进行化简,即可得出结果。
【详解】由复数运算法则可知:,故选A。
【点睛】本题考查了复数的相关性质,主要考查了复数的除法运算法则以及,考查计算能力,是简单题。
4. 已知直线 , 与的夹角为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
参考答案:
B
略
5. 已知A为△ABC的一个内角,且,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
参考答案:
B
【考点】正弦定理.
【分析】平方已知式子结合三角形内角范围可得cosA为负数,可得A为钝角,可得结论.
【解答】解:∵△ABC中,
∴平方可得,
∴,
由三角形内角范围可得sinA>0,
∴cosA<0,A为钝角.
故选:B
6. 已知为虚数单位,复数,则复数的共轭复数的虚部为
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1,那么原△ABC的面积为( )
A.2 B. C.2 D.
参考答案:
C
8. 若命题“”为真命题,则
A.,均为假命题 B.,中至多有一个为真命题
C.,均为真命题 D.,中至少有一个为真命题
参考答案:
A
9. 在△ABC中,b=35,c=20,C=30°,则此三角形解的情况是( )
A.两解 B.一解 C.一解或两解 D.无解
参考答案:
A
【考点】正弦定理.
【分析】由题意求出a边上的高h,画出图象后,结合条件判断出此三角形解的情况.
【解答】解:由题意知,b=35,c=20,C=30°,
则a边上的高h=bsinC==,
如右图所示:
因<c=20<b,
所以此三角形有两解,
故选A.
10. 命题“设a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;四种命题的真假关系;不等关系与不等式.
【分析】先看原命题,∵若ac2>bc2,则c≠0,∴a>b,由于等价命题同真同假,只要判断原命题和逆命题即可.
【解答】解:原命题:,∵若ac2>bc2,则c≠0,∴a>b,成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为真;
逆命题:若a>b,则ac2>bc2,不正确,∵a>b,∴关键是c是否为0,∴逆命题为假,由等价命题同真同假知否命题也为假,
∴命题“设a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题.
故选B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知=2, =3, =4,…若=6,(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t= .
参考答案:
41
【考点】类比推理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】观察所给的等式,等号右边是,,…第n个应该是,左边的式子,写出结果.
【解答】解:观察下列等式
=2, =3, =4,…
照此规律,第5个等式中:a=6,t=a2﹣1=35
a+t=41.
故答案为:41.
【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系,本题是一个易错题.
12. 若双曲线的两条渐进线的夹角为,则该双曲线的离心率为________.
参考答案:
略
13. 三棱柱共9条棱,共有___________对异面直线.
参考答案:
12
略
14. 已知函数,则的值
参考答案:
15. 若直线与抛物线相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,则 .
参考答案:
2
16. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取出两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率为_________ 。
参考答案:
17. 命题“”的否定是 __。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知与之间的数据如下表:
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)完成下面的残差表:
x
2
3
4
5
6
并判断(1)中线性回归方程的回归效果是否良好(若,则认为回归效果良好).
附:,,,.
参考答案:
(1)由已知图表可得,,,,
则,,
故.
(2)∵,∴,,,,,则残差表如下表所示,
∵,
∴,
∴该线性回归方程的回归效果良好.
19. 四棱锥中,底面是正方形,,垂足为点,
,点是的中点.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求四面体的体积.
参考答案:
证明:(1)连接AC,BD,记AC与BD的交点为O,连接MO.
∵点O,M分别是BD,PD的中点
∴MO//PB,
又PB面ACM,MO面ACM
∴PB//面ACM.
(2)∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥面PAC
(3)∵,且
∴
略
20. (14分)(1)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线2x﹣y﹣4=0上,求p的值;
(2)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,准线方程为x=±,求双曲线的标准方程.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)利用抛物线的标准方程及其性质即可得出;
(2)利用双曲线的标准方程及其性质即可得出.
【解答】解:(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(p,0),
又焦点在直线2x﹣y﹣4=0上,
∴2p﹣0﹣4=0,
解得p=2,
(2)由题意知双曲线标准方程为: +=1,(a,b>0).
∴=, =,
又c2=a2+b2,解得a=4,b=3,
∴所求双曲线标准方程为﹣=1
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.
21. 在平面直角坐标系xOy上,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1):,:.
(2).
22. 在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:
(1)直线EF∥面ACD;
(2)BD⊥面EFC.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)根据已知中E,F分别为AB,BD的中点,由三角形中位线定理可得EF∥AD,再由线面平行的判定定理,即可得到直线EF∥面ACD;
(2)由AD⊥BD结合(1)的结论可得EF⊥BD,再由CB=CD,结合等腰三角形“三线合一”的性质,得到CF⊥BD,结合线面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC.
【解答】证明:(1)E,F分别为AB,BD的中点?EF∥AD
.
(2)
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