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江苏省宿迁市虞姬中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设复数满足,则
A. B. C. D.
参考答案:
2. 已知实数满足:,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
3. 若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据题意,得出,利用基本不等式,即可求解,得到答案。
【详解】由题意,因为,
则
当且仅当且即时取得最小值.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题,其中解答中合理化简,熟练应用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题。
4. 已知2016-2018年文科数学全国Ⅱ卷中各模块所占分值百分比大致如图所示:
给出下列结论:
①选修1-1所占分值比选修1-2小;
②必修分值总和大于选修分值总和;
③必修1分值大致为15分;
④选修1-1的分值约占全部分值的.
其中正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ②④
参考答案:
C
【分析】
由对图表信息的分析、成立结合百分比逐一运算即可得解.
【详解】解:对于①,选修1-1所占分值比为20%选修1-2所占分值比为6.8%即选修1-1所占分值比选修1-2大;
对于②,必修分值总和为66.5%大于选修分值总和33.5%,即必修分值总和大于选修分值总和;
对于③,必修1分值大致为150×10%=15分;
对于④,选修1-1的分值约占全部分值的=.
即正确的是②③④,
故选C.
【点睛】本题考查了对图表信息的分析处理能力,属基础题.
5. 下列命题正确的个数是( )
(1)若直线上有无数多个点不在平面内,则
(2)若直线平行于平面内的无数条直线,则
(3)若直线与平面平行,则与平面内的任一直线平行
(4)若直线在平面外,则
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
A
6. 设全集U是实数集R,集合A={y|y=3x,x>0},B={x|y=},
则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x≤1} C.{x| 1<x<2} D.{x| 1<x≤2}
参考答案:
B
7. 设向量,,若向量与同向,则x=( )
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 0
参考答案:
A
【分析】
由与平行,利用向量平行的公式求得x,验证与同向即可得解
【详解】由与平行得,所以,又因为同向平行,所以. 故选A
【点睛】本题考查向量共线(平行)的概念,考查计算求解的能力,属基础题。
8. 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 在空间四边形OABC中,OM=2MA,点N为BC中点,则等于
A 、 B 、 C 、 D 、
参考答案:
A
略
10. 用数学归纳法证明不等式的过程中,由n=k递推到n=k+1时,下列说法正确的是( )
A.增加了一项
B.增加了两项和
C.增加了B中两项,但又少了一项
D.增加了A中一项,但又少了一项
参考答案:
C
【考点】数学归纳法.
【分析】当n=k时,写出左端,并当n=k+1时,写出左端,两者比较,关键是最后一项和增加的第一项的关系.
【解答】解:当n=k时,左端=++…+,
那么当n=k+1时 左端=+…+++
故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了两项,同时减少了这一项,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判
断框内应填入的条件是 .
参考答案:
12. 定义运算,若复数z满足,其中i为虚数单位,则复数z= .
参考答案:
1﹣i
【考点】OM:二阶行列式的定义;A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】设出要求的复数,根据条件中定义的行列式,写出含有复数的行列式的结果,根据复数相等的充要条件,写出关于所设的复数的实部和虚部的方程,解方程即可.
【解答】解:设z=a+bi
∵行列式的运算定义为,
∴等价于zi+z=2,
∴(a+bi)i+(a+bi)=2,
∴a﹣b+(b+a)i=2,
∴a+b=0,a﹣b=2,
∴a=1,b=﹣1,
∴z=1﹣i,
故答案为:1﹣i.
13. 在北纬东经有一座城市A,在北纬东经有一座城市B,设地球半径为,则A、B两地之间的球面距离是
参考答案:
14. 若关于x的不等式(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1>0的解集为空集,则实数m的取值为 .
参考答案:
m≤
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】关于x的不等式(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1>0的解集为?,可转化成不等式(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1≤0恒成立,然后讨论二次项系数和判别式可得结论.
【解答】解:∵关于x的不等式(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1>0的解集为?,
∴不等式(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1≤0恒成立
①当m﹣1=0时,(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1≤0,即x≥0,不是对任意x∈R恒成立;
②当m﹣1≠0时,?x∈R,使(m﹣1)x2﹣mx+m﹣1≤0,
即m﹣1<0且△=(﹣m)2﹣4(m﹣1)(m﹣1)≤0,
解得m≤
综上,实数m的取值范围是m≤.
故答案为m≤.
15. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于yoz面对称的点的坐标为 ▲
参考答案:
16. 已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等
差数列,则△ABC的面积为________.
参考答案:
略
17. 过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长为,则直线l的斜率为________.
参考答案:
1或
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分13分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若b = 2,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理可知,,由题意知,∴;………………2分
又在△ABC中,∴
,又,∴.………………6分
(Ⅱ)∵b=2 ,∴由可知,,
即,∴,……………………8分
∵,∴………………10分
∴.
∴△ABC面积的最大值为.…………………………12分
19. 设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为线段PD上一点,且,
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.
参考答案:
(Ⅰ)设的坐标为,的坐标为,
由已知得, 因为在圆上,所以 ,
即的方程为. —————6分
(Ⅱ)过点且斜率为的直线方程为,
设直线与的交点为。
将直线方程代入的方程,得,
即。所以,.
所以线段的长度为.
(或用弦长公式求) —————12分
20. 某厂有一批长为18m的条形钢板,可以割成1.8m和1.5m长的零件.它们的加工费分别为每个1元和0.6元.售价分别为20元和15元,总加工费要求不超过8元.问如何下料能获得最大利润.
参考答案:
设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个,利润为z元,
则z=20x+15y-(x+0.6y)即z=19x+14.4y且
, (3分)
作出不等式组表示的平面区域如图, (5分)
又由
,
解出x= ,y= ,∴M(,), (7分)
∵x、y为自然数,在可行区域内找出与M最近的点为(3,8),此时z=19×3+14.4×8=172. 2(元). (8分)
又可行域的另一顶点是(0,12),过(0,12)的直线使z=19×0+14.4×12=172.8(元);(9分)
过顶点(8,0)的直线使z=19×8+14.4×0=152(元). (10分)
M(, )附近的点(1,10)、(2,9),直线z=19x+14.4y过点(1,10)时,z=163;过点(2,9)时z=167.6. (11分)
∴当x=0,y=12时,z=172.8元为最大值.
答:只要截1.5m长的零件12个,就能获得最大利润.(12分)
21. (本小题满分10分)
已知函数,.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)判断函数在区间上零点的个数,并给予证明;
参考答案:
(Ⅰ)∵,
,……………1分
当时,;当
时,.……………3分
当时,取得极小值,无极大值.……………4分
(Ⅱ)函数在区间上有且只有一个零点. ……………5分
证明如下:∵,
,
,
函数在区间上必定存在零点. …………6分
∵,当时,,
在区间上单调递增, ………………………8分
∴函数在区间上的零点最多一个. ………………………9分
综上知:函数在区间上存在唯一零点.……10分
22. 已知椭圆C:和直线L:=1, 椭圆的离心率,坐标原点到直线L的距离为。
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线与椭圆C相交于M、N两点,试判断是否存在值,使以MN为直径的圆过定点E?若存在求出这个值,若不存在说明理由。
参考答案:
解:(1)直线L:,
由题意得: 又有,
解得:。
(2)若存在,则,设,则:
联立得:(*)
代入(*)式,得:
,
满足
略
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