广西壮族自治区梧州市高级中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

广西壮族自治区梧州市高级中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题：，，则    （　  ） A．：，            B．：， C．：，        D．：， 参考答案： A 2. 用更相减损术得111与148的最大公约数为（　　） A．1 B．17 C．23 D．37 参考答案： D 【考点】用辗转相除计算最大公约数． 【专题】计算题；综合法；推理和证明． 【分析】用更相减损术求111与148的最大公约数，先用大数减去小数，再用减数和差中较大的数字减去较小的数字，这样减下去，知道减数和差相同，得到最大公约数． 【解答】解：用更相减损术求111与148的最大公约数． 148﹣111=37， 111﹣37=74 74﹣37=37， ∴111与148的最大公约数37， 故选：D． 【点评】本题考查辗转相除法和更相减损术，这是案例中的一种题目，这种题目解题时需要有耐心，认真计算，不要在数字运算上出错． 3. 一艘船向正北方向航行，看见正西方有两个灯塔恰好与它在一条直线上，两塔相距10海里，继续航行半小时后，看见一塔在船的南偏西60°，另一塔在船的南偏西45°，则船速（海里/小时）是 2,4,6   　     A．5              B．5           C．10             D．10＋10 参考答案： D 略 4. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 点是曲线上任意一点, 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小， 直线的斜率为1，由，解得或（舍）. 所以曲线与直线的切点为. 点到直线的距离最小值是.选C. 5. 焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为(　  　) A.　　　  　  B．2　  　　　C.　 　　 　D．4 参考答案： C 略 6. 已知为实数，且，则“”是“”的（ ） 充分不必要条件       B、必要不充分条件    C、充要条件             D、既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 7. 的值是 A．                          B．                    C．            D． 参考答案： C 略 8. 程序：M=1  M=M+1  M=M+2  PRINT M  END   M的最后输出值为（    ） A． 1            B．2              C．  3            D．4 参考答案： D 9. 在等比数列{an}中，已知a1=，a5=9，则a3=(     ) A．1 B．3 C．±1 D．±3 参考答案： A 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】由等比数列的性质可知，，可求 【解答】解：∵a1=，a5=9， 由等比数列的性质可知，=1 ∴a3=±1 当a3=﹣1时，=﹣9不合题意 ∴a3=1 故选A 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 10. 已知命题p：π是有理数，命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是（1，2）．给出下列结论： （1）命题p∧q是真命题         （2）命题p∧（￢q）是假命题 （3）命题（￢p）∨q是真命题     （4）命题（￢p）∨（￢q）是假命题 其中正确的是（　　） A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（1）（4） 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】本题考查复合命题的真假，先判断命题p和命题q的真假，然后判断￢P和￢q的真假，由此判断复合命题“p∧q”，“p∧￢q”，“￢p∨q”和“￢p∨￢q”的真假． 【解答】解：∵命题p：π是有理数，是假命题， 命题q：x2﹣3x+2＜0的解集是（1，2）．是真命题， ∴￢P是真命题，￢q是假命题， ∴（1）命题p∧q是真命题错误．       （2）命题p∧（￢q）是假命题，正确． （3）命题（￢p）∨q是真命题，正确． （4）命题（￢p）∨（￢q）是假命题，错误． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若复数是纯虚数，则实数的值为__ __ ． 参考答案： 2 12. _________.. 参考答案： 略 13. 已知函数，，，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①的最大值为； ②的最小值为； ③在上是减函数； ④在上是减函数． 参考答案： ①④． 【考点】2K：命题的真假判断与应用；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】可求出的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题 【解答】解：的导数， 又， ∴函数在上是增函数，在上是减函数， ∴的最大值为， 由此知①④是正确命题， 故答案为①④． 14. 函数的定义域为            ． 参考答案： ： 15. 在平面中，若一个三角形的高被平行底边的线段分为1:2两段，则截得的小三角形与原三角形的面积比为1:9；类似地：在空间中，若一个三棱锥的高被平行于底面的截面分成的比为1:2，则截得的小棱锥与原三棱锥的体积比为_________ 参考答案： 1:27 16. 若时，不等式恒成立，则的最小值是_____________ 参考答案： 2 17. 不等式x(x－1)＜2的解集为________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆上运动，求|PF1|?|PF2|的最大值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求； （2）由题意定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，再由基本不等式求得|PF1|?|PF2|的最大值． 【解答】解：（1）由题意，得，解得． ∴椭圆C的方程是； （2）∵P在椭圆上运动， ∴|PF1|+|PF2|=2a=4， ∴|PF1|?|PF2|≤， 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立， ∴|PF1|?|PF2|的最大值为4． 19. 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】规律型． 【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0． 由解得2＜x≤3． 即q：2＜x≤3． （1）若a=1，则p：1＜x＜3， 若p∧q为真，则p，q同时为真， 即，解得2＜x＜3， ∴实数x的取值范围（2，3）． （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， ∴，即， 解得1＜a≤2． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键， 20. 已知函数，其中常数满足 （1）若，判断函数的单调性； （2）若，求时的的取值范围. 参考答案： 解：⑴ 当时，任意， 则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。 ⑵  当时，，则； 当时，，则。 略 21. 如图所示，已知与⊙O相切，为切点，过点的割线交圆于、两点，弦∥，、相交于点，为上一点，且. （1）求证：； （2）若，，，求的长. 参考答案： 解：（I）∵，∴， 又∵，∴，∴∽ ∴又∵，∴  （II），， 是⊙的切线，， 略 22. 某连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额（x）/千万元 3 5 6 7 9 利润额（y）/千万元 2 3 3 4 5 （1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有线性相关关系．用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程． 参考答案： 【考点】回归分析的初步应用． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图．由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系． （2）做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把样本直线的代入求出a的值，协会粗线性回归方程． 【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图． 由散点图可以看出：各个点基本上是在一条直线的附近，销售额和利润额具有相关关系． （2）∵=6， =3.4， b==0.5 a=3.4﹣0.5×6=0.4 ∴回归直线方程y=0.5x+0.4． 【点评】本题考查线性回归方程的做法和判断两组变量之间的关系的方法，本题解题的关键是先判断出两组数据具有线性相关关系，进而求出线性回归方程，本题是一个基础题．