2022-2023学年广西壮族自治区柳州市斗江中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区柳州市斗江中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=(     ) A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．? 参考答案： C 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可． 解答： 解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}={y|y＞0}， ∴P∩Q={1，2}， 故选：C． 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 已知，则a，b，c大小关系为（　　） A. B. C. D. 参考答案： 【知识点】对数值大小的比较．B7  【答案解析】A  解析：由指数与对数的运算性质可知＞1，∈（0，1）； ＜0，所以a＞b＞c；故选A． 【思路点拨】利用指数与对数的运算性质，确定a，b，c 的值的范围，然后推出结果． 3. 在等比数列中，则（      ） ( A )    3        ( B )           ( C )   3或       ( D )   或 参考答案： C 略 4. “”是“函数的最小正周期为”的（     ） 　．必要不充分条件            ．  充分不必要条件 ．充要条件                   ．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 5. 已知函数，，的零点分别为，，，则   参考答案： D 略 6. 若非零向量，满足||=||，（2+）?=0，则与的夹角为(     ) A．30° B．60° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题． 【分析】由题意，可先由条件|，（2+）?=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项 【解答】解：由题意（2+）?=0 ∴2?+=0，即2||||cos＜，＞+=0 又||=|| ∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π ∴则与的夹角为120° 故选C 【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值 7. 一个工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查。已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线的生产的产品数量是        A．12000                    B．6000                      C．4000                      D．8000 2,4,6   参考答案： D 8. 设集合，，则 A.           B.           C.           D. 参考答案： A . 9. 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为矩形内一点，且AP＝. 若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为 (　　) 参考答案： B 10. 若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是   （    ） A．甲同学：均值为2，中位数为2        B．乙同学：均值为2，方差小于1 C．丙同学：中位数为2，众数为2        D．丁同学：众数为2，方差大于1     参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角的对边分别为，若，，的面积，则边长为             ． 参考答案： 5 略 12. 右图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则h=     cm 参考答案： 13. 如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为          . 参考答案： 14. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为  . 参考答案： 因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以母线，底面半径。所以底面周长，所以侧面积为。 15. 已知一个半径为1m的半圆形工件,未搬动前如图所示(直径平行于地面放置),搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移40m,则圆心O所经过的路线长是_______m. 参考答案： 略 16. 已知，则以向量为邻边的平行四边形的面积为          参考答案：   17. 把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为　　． 参考答案： 36 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】由题意知将4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果． 【解答】解：∵将4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名， ∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体， 再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有C24A33=36． 故答案为：36． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值； （Ⅱ） 已知实数a，b，c∈R+，且a+b+c=m，求证： ++≥． 参考答案： 【考点】R6：不等式的证明；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）为分段函数，然后通过不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值； （Ⅱ）利用“1”的代换，利用基本不等式转化证明即可． 【解答】（本小题满分10分） 解：（Ⅰ） 因为a＞0，所以， 又因为不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，就是x=﹣2或x=3时，f（x）=5，解得a=2． （Ⅱ）证明： = = 19. （本小题共13分） 已知椭圆：（）的离心率，原点到过点，的直线的距离是．  ⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． ⑶ 如果直线（）交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值． 参考答案： 解: (Ⅰ)因为，， 所以 ．                            因为原点到直线：的距离， 解得，．      故所求椭圆的方程为．         (Ⅱ)因为点关于直线的对称点为， 所以                                  解得 ，．                           所以．                                                              因为点在椭圆:上， 所以． 因为， 所以． 所以的取值范围为．            (Ⅲ)由题意 消去 ，整理得       ． 可知．                             设，，的中点是， 则，． 所以．   所以．                即 ． 又因为， 所以．所以．                  ………………………………13分 20. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）过A（a，0）且相互垂直的两条直线l1，l2，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，问直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点的坐标，否则，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的离心率e=，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值求得椭圆方程； （2）由A点坐标，当直线PQ斜率不存在时，代入椭圆方程，求得交点坐标，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点． 【解答】解：（1）由题意可知：e==，则a=c，b2=a2﹣c2=2c2， 将代入椭圆方程：，解得：c=， ∴a=3，b2=6， ∴椭圆C的方程； （2）由A（3，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当PQ⊥x轴，不妨设两条直线l1，l2的斜率为1，﹣1，设l1：y=x﹣3， 则，整理得：5x2﹣18x+9=0，解得：x=，x=3， 直线l2：y=﹣x+3，同理可得：解得：x=，x=3， ∴直线PQ与x轴交点M（，0）， 当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为y=k（x﹣m）， 代入椭圆方程：，整理得：（6+9k2）x2﹣18k2mx+（9k2m2﹣54）=0， 由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=， 由题意可知： ?=0，则（x1﹣3，y1）（x2﹣3，y2）=0， 整理得：（1+k2）x1x2﹣（3+k2m）（x1+x2）+（k2m2+9）=0， 则（1+k2）×﹣（3+k2m）（）+（k2m2+9）=0，整理得：5m2﹣18m+9=0， 解得：m=或m=3，（舍去） ∴直线PQ是否经过定点M（，0）． 21. 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】2E：复合命题的真假；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0． 由解得2＜x≤3． 即q：2＜x≤3． （1）若a=1，则p：1＜x＜3， 若p∧q为真，则p，q同时为真， 即，解得2＜x＜3， ∴实数x的取值范围（2，3）． （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件， ∴，即， 解得1＜a≤2． 22.   （12分）设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0)．    （1）求f(x)的最小值h(t)；    （2）若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解析：（Ⅰ）， 当时，取最小值， 即．（6分）    （Ⅱ）令， 由得，（不合题意，舍去）． 当变化时，的变化情况如下表： 递增 极大值 递减 在内有最大值． 在内恒成立等价于在内恒成立， 即等价于， 所以的取值范围为．（6分）