黑龙江省哈尔滨市明珠中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市明珠中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义两种运算：，，则函数为（     ） A．奇函数         B．偶函数           C．既奇且偶函数       D．非奇非偶函数 参考答案： A 略 2. 设直线2x﹣y﹣=0与y轴的交点为P，点P把圆（x+1）2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 参考答案： A 【考点】JE：直线和圆的方程的应用． 【分析】令x=0代入直线方程求得点P的坐标，根据圆方程求得圆心坐标，进而求得|OP|，最后根据被截长度之比求得答案． 【解答】解：依题意可求得P（0，﹣）， （x+1）2+y2=25圆心C（﹣1，0）， ∴|CP|==2， ∵半径=5， ∴则其长度之比==，或=， 故选：A． 3. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标和半径的长分别是（    ） A．（2，0），5                       B．（2，0），     C．（0，2），5                          D．（0，2）， 参考答案： B 方程可化为标准式， 所以它的圆心坐标和半径的长分别是， 本题选择B选项.   4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 参考答案： A 【分析】 根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度。 【详解】因为，所以只需把函数图象向左平移个单位长度即可得，选A. 5. 在锐角中，有                                     （    ） A.且            B.且            C.且            D.且 参考答案： B 6. 已知函数，若,则（    ） A.-3      B.3        C.-5        D.-3或-5 参考答案： A 7. 已知|p|=,|q|=3,p、q的夹角为，如图1，若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点，则||为(    ) 图1 A.             B.             C.7                 D.18 参考答案： A 8. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若则；  ②若则； ③若则  ④若，则 其中正确命题的个数为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3      参考答案： B 9. 已知集合，，则(     )                    参考答案： B 10. 360和504的最大公约数是                                （     ）                                                   A  24       B  72       C  144         D以上都不对   参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，则 =___________ 参考答案： 12. 设函数f（x）=，则f（2）=　    　． 参考答案： 19 【考点】函数的值． 【分析】根据定义域范围代值计算即可． 【解答】解：函数f（x）=， ∵2＜6， ∴f（2）=f（2+3）=f（5）； 又5＜6， ∴f（5）=f（5+3）=f（8）； 8＞6， ∴f（8）=3×8﹣5=19． 所以得f（2）=19． 故答案为：19． 13. 已知向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=?，下列关于函数f（x）的结论中正确的是　　． ①最小正周期为π；           ②关于直线对称； ③关于点中心对称；   ④值域为． 参考答案： ①② 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的运算求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断即可． 【解答】解：向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx）， 函数f（x）=?=sinxcosx+cos2x﹣m2=sin2x+cos2x+=sin（2x+）， ①最小正周期T=． ②当x=时，sin（2x+）=1，∴f（x）关于直线对称； ③当x=时，sin（2x+）=，∴f（x）关于点中心对称． ④∵sin（2x+）值域为[﹣1，1]，即﹣1≤sin（2x+）≤1， f（x）=sin（2x+）， 可得﹣1≤sin（2x+），即f（x）∈[，]． ∴f（x）的值域为[，]． 故答案为：①②． 14. 已知正数数列{an}对任意，都有若a2=4,则           参考答案： 64 略 15. （5分）若方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根，其中n为正整数，则n的值为         ． 参考答案： 1 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根可化为函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）上有零点，从而由零点的判定定理求解． 解答： 方程2x+x﹣5=0在区间（n，n+1）上有实数根可化为 函数f（x）=2x+x﹣5在区间（n，n+1）上有零点， 函数f（x）=2x+x﹣5在定义域上连续， f（1）=2+1﹣5＜0，f（2）=4+2﹣5＞0； 故方程2x+x﹣5=0在区间（1，2）上有实数根， 故n的值为1； 故答案为：1． 点评： 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于基础题． 16. 已知下列关系式；①：②；③（?）=（?）；④；⑤．其中正确关系式的序号是　　． 参考答案： ①②④ 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的基本公式和基本运算律判断即可． 【解答】解：①，正确， ②，正确 ③（?）=（?），向量不满足结合律，故不正确 ④；正确 ⑤设与的夹角为θ，则||=|||?||?cosθ|， =|||?||?cosθ，故不正确， 故答案为：①②④ 17. 已知向量满足，且它们的夹角为，则  ▲  ．     参考答案：    略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 ． （1）求函数的单调递增区间；（只需写出结论即可） （2）设函数，若在区间(－1,3)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； （3）若存在实数，使得对于任意的，都有成立，求实数a的最大值． 参考答案： （1）函数的单调递增区间为 ………………3分 （不要求写出具体过程） （2） 由题意知，即得；………………8分 （3）设函数由题意，在上的最小值不小于在上的最大值， 当或时，在区间[－2, －1]单调递增， 当时，，∴存在，使得成立， 即 ，．a的最大值为 ．………………12分 19. （本小题满分12分） 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(,). （1）若||=||，求角α的值； （2）若·=-1，求的值. 参考答案： 解：（1）∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3), ∴||=， ||=. 由||=||,得sinα=cosα. 又∵α∈(, )，∴α=. （2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1. ∴sinα+cosα=.① 又=2sinαcosα. 由①式两边平方,得1+2sinαcosα=, ∴2sinαcosα=.∴=. 20. 已知函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1 （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期T即可； （Ⅱ）根据正弦函数的单调性，求出f（x）在区间[﹣，]上单调递增，[，]上的单调递减． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx（2cosx﹣sinx）+1 =2sinxcosx﹣2sin2x+1 =（2sinxcosx）+（1﹣2sin2x） =sin2x+cos2x =2（sin2x+cos2x） =2sin（2x+）， ∴f（x）的最小正周期T==π； （Ⅱ）令z=2x+， 则函数y=2sinz在区间[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z上单调递增； 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 令A=[﹣，]，B=[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z， 则A∩B=[﹣，]； ∴当x∈[﹣，]时，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间[，]上的单调递减． 21. 已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0． （Ⅰ）求函数g（x）的解析式； （Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n ∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1 ∵m＞0依题意得， 即， 解得 ∴g（x）=x2﹣2x+1， （Ⅱ）∵ ∴， ∵f（2x）﹣k?2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立， 即在x∈[﹣3，3]时恒成立 ∴在x∈[﹣3，3]时恒成立 只需 令， 由x∈[﹣3，3]得 设h（t）=t2﹣4t+1 ∵h（t）=t2﹣4t+1 =（t﹣2）2﹣3 ∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2 当t=8时，取得最大值33． ∴k≥h（t）max=h（8）=33 ∴k的取值范围为[33，+∞）． 22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥E-ABC的体积V. 参考答案： (1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC. ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD， ∴EF∥AD.-----------------------3分 又∵AD平面PAD，EF平面PAD， ∴EF∥平面PAD.-------------------5分 (2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G. 则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA.------------------ ---7分 在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2， ∴AP＝AB＝，EG＝.------------------------------------------9分 ∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝， ∴VE-ABC＝S△ABC·EG＝××＝.-------------------------12分