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山东省菏泽市鄄城县私立立人中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
A.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
参考答案:
A
略
2. 已知命题,命题,若命题“” 是真命题,则实数的取值范围是( )
A.或 B. 或 C. D.
参考答案:
A
3. 不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
解析:原不等式等价于
设 解得。
即。 故选C。
4. 已知点C为抛物线的准线与轴的交点,点F为焦点,点A、B是抛物线上的两个点。若,则向量与的夹角为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则到F2 的距离为( ).
A. B. C. D.4
参考答案:
C
6. 若实数a、b满足,,且ab=0,则称a与b互补,记,那么是a与b互补的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
7. 已知向量a ,b ,a⊥b则k=( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
8. 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4)(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2)(13,1),表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则( )
A. <<0 B. 0<< C. <0< D. =
参考答案:
C
9. 设是直线,,是两个不同的平面( )
(A) 若∥,∥,则∥
(B) 若∥,⊥,则⊥
(C)若⊥,⊥,则⊥
(D)若⊥, ∥,则⊥
参考答案:
B
略
10. 直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点,椭圆的上顶点为B点,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是( )
A.5x+6y﹣28=0 B.5x﹣6y﹣28=0 C.6x+5y﹣28=0 D.6x﹣5y﹣28=0
参考答案:
D
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点为G,MN的方程为y=kx+b,结合题意可得x1+x2=6,y1+y2=﹣4,可得G的坐标,再由A、B在椭圆上,可得,计算可得k,将G的坐标代入可求直线的方程.
【解答】解:设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点为G,MN的方程为y=kx+b,
而B(0,4),又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点(2,0)上,
故x1+x2=6,y1+y2=﹣4,则MN的中点G为(3,﹣2),
又M、N在椭圆上,
①﹣②,可得4(x1﹣x2)(x1+x2)+5(y1﹣y2)(y1+y2)=80,
又由x1+x2=6,y1+y2=﹣4,
可得k==,
又由直线MN过点G(3,﹣2),则直线l的方程是6x﹣5y﹣28=0.
故选D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一船以每小时12海里的速度向东航行,在处看到一个灯塔在北偏东60°,行驶4小时后到达处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔相距__________海里.
参考答案:
本题主要考查正弦定理.根据题意,可得出 ,在 中,根据正弦定理得:海里,则这时船与灯塔的距离为海里,故本题正确答案是.
12. 已知定义在R上的函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为______
参考答案:
【分析】
先根据构造差函数,再根据条件化为一元函数,利用导数确定其单调性,最后根据单调性解不等式,解得结果.
【详解】由,可得,
即.
因为,所以问题可转化为恒成立,
记,
所以在上单调递增.
又,所以当时,恒成立,即实数的取值范围为.
13. 命题“”的否定是________________.
参考答案:
略
14. 已知实数满足,则= ; = 。
参考答案:
15. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围为
参考答案:
略
16. 若等比数列的前项之积为,则有;类比可得到以下正确结论:若等差数列的前项之和为,则有 .
参考答案:
略
17. 抛物线在点处的切线方程是 ;
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
参考答案:
【考点】简单线性规划的应用.
【专题】应用题;不等式的解法及应用.
【分析】设应配备A型车、B型车各x辆,y辆,营运成本为z元;从而可得;z=1600x+2400y;利用线性规划求解.
【解答】解:设应配备A型车、B型车各x辆,y辆,营运成本为z元;
则由题意得,
;z=1600x+2400y;
故作平面区域如下,
故联立解得,x=5,y=12;
此时,z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元.
【点评】本题考查了线性规划在实际问题中的应用,属于中档题.
19. 已知正数列的前n项和
(I)求的通项公式;
(II)令,问数列的前多少项的和最大?
参考答案:
令
令
两式相减,得
移项得:
是公差为2,首项为1的等差数列,
(2)
要使的前n项和最大,则满足
解得
则n=1005
即前1005项的和最大
20. (本小题满分12分)
已知函数
(1) 求函数的最小正周期;
(2) 当时,求函数 f (x) 的最大值与最小值及相应的值。
参考答案:
解:(1) ………3分
…………6分
的最小正周期 …………7分
(2) …………8分
…………10分
…………12分
略
21. 在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的
曲线的弦、,设、 的中点分别为.求证:直线必过定点,并求出定点坐标.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线.…………………….2分
∴是点到直线的距离.
∵点在线段的垂直平分线,∴.…………4分
故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:. ……….7分
(Ⅱ) 设,,直线AB的方程为…………….8分
则
(1)—(2)得,即,
代入方程,解得.
略
22. 已知数列{an}的前n项和Sn=2n,数列{bn}满足b1=﹣1,bn+1=bn+(2n﹣1)(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求数列{bn}的通项bn;
(3)若,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列递推式;数列的概念及简单表示法;数列的求和.
【专题】计算题.
【分析】(1)当n≥2时,根据Sn=2n,得到Sn﹣1=2n﹣1,两者相减即可得到an的通项公式,当n=1时,求出S1=a1=2,分两种情况:n=1和n≥2写出数列{an}的通项an;
(2)分别令n=1,2,3,…,n,列举出数列的各项,得到b2﹣b1=1,b3﹣b2=3,b4﹣b3=5,…,bn﹣bn﹣1=2n﹣3,以上各式相加后,利用等差数列的前n项和公式化简后,将b1=﹣1代入即可求出数列{bn}的通项bn;
(3)分两种情况:n=1和n≥2,把(1)和(2)中分别求出的两通项公式代入,得到数列{cn}的通项公式,列举出数列{cn}的前n项和Tn,两边同乘以2后,两等式相减后,利用等比数列的前n项和公式化简后,即可得到数列{cn}的前n项和Tn的通项公式.
【解答】解:(1)∵Sn=2n,∴Sn﹣1=2n﹣1,(n≥2).
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1(n≥2).
当n=1时,21﹣1=1≠S1=a1=2,
∴
(2)∵bn+1=bn+(2n﹣1),
∴b2﹣b1=1,b3﹣b2=3,b4﹣b3=5,…,bn﹣bn﹣1=2n﹣3,
以上各式相加得.
∵b1=﹣1,∴bn=n2﹣2n
(3)由题意得
∴Tn=﹣2+0×21+1×22+2×23+…+(n﹣2)×2n﹣1,
∴2Tn=﹣4+0×22+1×23+2×24+…+(n﹣2)×2n,
∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣1﹣(n﹣2)×2n=
=2n﹣2﹣(n﹣2)×2n=﹣2﹣(n﹣3)×2n,
∴Tn=2+(n﹣3)×2n.
【点评】此题考查学生灵活运用数列的递推式确定数列为等比数列,在求通项公式时应注意检验首项是否满足通项,会利用错位相减的方法求数列的和,灵活运用等差数列及等比数列的前n项和公式化简求值,是一道中档题.
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