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辽宁省阜新市矿务局东梁中学2022年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆的半径是6cm,则30°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
A. B. C.πcm2 D.3πcm2
参考答案:
D
【考点】扇形面积公式.
【分析】利用扇形面积公式S=αr2,即可求得结论.
【解答】解:30°化为弧度为×30=,
∴30°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是S=αr2=×62=3πcm2
故选:D.
2. 已知a且sin()=则cosa= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 函数的定义域是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
依据正切函数的定义域,代换即可求出。
【详解】因为的定义域为,
所以由,解得,故选C。
【点睛】本题主要考查正切函数的定义域,属于基础题.
4. 已知集合则满足的非空集合的个数是
A.1 B. 2 C. 7 D.8
参考答案:
C
略
5. 若,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若函数在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[4,6] B.[-6,-4] C.[2,3] D.[-3,-2]
参考答案:
D
7. (5分)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,则f(﹣2),f(π),f(﹣3)的大小关系是()
A. f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) B. f(π)<f(﹣3)<f(﹣2) C. f(π)>f(﹣2)>f(﹣3) D. f(π)>f(﹣3)>f(﹣2)
参考答案:
D
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,进行判断即可.
解答: ∵f(x)是偶函数且当x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,
∴f(π)>f(3)>f(2),
即f(π)>f(﹣3)>f(﹣2),
故选:D.
点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.
8. 设正六边形的中心为点,为平面内任意一点,则( )
A. B. C.3 D.6
参考答案:
D
略
9. 集合,,则下列关系中,正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 在区间[0,5]内随机选一个数,则它是不等式log2(x﹣1)<1的解的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】CF:几何概型.
【分析】由,得不等式log2(x﹣1)<1的解集为(1,3),利用几何概型的概率计算公式可得答案
【解答】解:由,得不等式log2(x﹣1)<1的解集为(1,3),
∴在区间[0,5]内随机选一个数,则它是不等式log2(x﹣1)<1的解的概率是P=,
故选:C.
【点评】本题考查了几何概型的概率计算公式,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设偶函数在(0,+∞)上单调递增,则f(b-2) f(a+1)(填等号或不等号)
参考答案:
12. 若函数f(x)是幂函数,且满足f(2)=4,则f()的值为 .
参考答案:
考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 设f(x)=xα,(α为常数).由4=2α,可得α=2即可.
解答: 解:设f(x)=xα,(α为常数).
∵4=2α,∴α=2.
∴f(x)=x2.
∴=.
故答案为:.
点评: 本题考查了幂函数的解析式,属于基础题.
13. 设,则
参考答案:
3
14. 在平行四边形ABCD中,= ,边AB,AD的长分别为2,1.若M, N 分别是边BC,CD上的点,且满足,则的取值范围是______.
参考答案:
[2,5]
【分析】
以A为原点AB为轴建立直角坐标系,表示出MN的坐标,利用向量乘法公式得到表达式,最后计算取值范围.
【详解】以A为原点AB为轴建立直角坐标系
平行四边形中,= ,边,的长分别为2,1
设
则
当时,有最大值5
当时,有最小值2
故答案为
【点睛】本题考查了向量运算和向量乘法的最大最小值,通过建立直角坐标系的方法简化了技巧,是解决向量复杂问题的常用方法.
15. 如图,是圆O的直径,是圆周上不同于的任意一点,平面,则四面体的四个面中,直角三角形的个数有 个.
参考答案:
4
16. 如图,ABC是直角三角形,ACB=,PA平面ABC,此图形中有 个直角三角形
参考答案:
4
17. 设函数f(x)=1+sin,x∈(﹣3π,π),若不等式a≤f(x)≤b的解集为[a,b],则a+b= _________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 数列{an}满足a1=2,an+1=-,求a2008。
参考答案:
略
19. 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,CAB=90°,AB=AC=2,AA1=,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.
(1)求证:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直.若能垂直,求PB的长;若不能垂直,请说明理由.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.
【分析】(1)推导出AM⊥BC,AM⊥BB1,由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C.
(2)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法推导出直线BC1与AP不能垂直.
【解答】证明:(1)∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,CAB=90°,
AB=AC=2,AA1=,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.
∴AM⊥BC,AM⊥BB1,
∵BC∩BB1=B,∴AM⊥平面BB1C1C,
∵AM?平面APM,
∴平面APM⊥平面BB1C1C.
解:(2)以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,
B(0,2,0),C1(2,0,),A(0,0,0),设BP=t,(0),
则P(0,2,t),
=(2,﹣2,),=(0,2,t),
若直线BC1与AP能垂直,则,
解得t=,
∵t=>BB1=,
∴直线BC1与AP不能垂直.
20. 设锐角三角形的内角的对边分别为,且.
(1)求的大小;
(2)求的取值范围.
参考答案:
(1)由,根据正弦定理,得,
故,因为锐角三角形,所以。
(2)
由为锐角三角形,知,而,
故,故,故。
21. (本小题满分13分)已知函数,.
(1)求函数的定义域;
(2)判断的奇偶性,并说明理由;
(3)若,求的取值范围.
参考答案:
(1)
(2)
为奇函数.
(3)
①若 则
②若 则
综上,当时,的取值范围是;当时,的取值范围是
22. 小明家买了一个太阳能热水器,实物图和横断面如图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心,支架CD与水平面AE垂直,AB=150cm,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=80cm,∠CED=45°.求热水器的总高度CF的长.(结果保留根号)
参考答案:
解:在Rt△DCE中,∠CED=45°,
DE=80, ∵sin∠CED=
∴DC=DE×sin∠CED = 40 (厘米)
设水箱半径OD=x厘米,则OC=(40+x)厘米,
AO=(150+x)厘米,
∵Rt△OAC中,∠BAC=30°
∴AO=2×OC 即:150+x=2(40+x)
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