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山东省日照市五莲县汪湖镇中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面,约定谁先到后必须等10分钟,这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1:40分到达的,假设小华在1点到2点内到达,且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】几何概型.
【分析】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0<x<60}做出集合对应的线段,写出满足条件的事件对应的集合和线段,根据长度之比得到概率.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,
∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0<x<60}
集合对应的面积是长为60的线段,
而满足条件的事件对应的集合是A={x|30<x<50}
得到 其长度为20
∴两人能够会面的概率是 =,
故选:D
2. 点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A. B. C. D.π
参考答案:
C
【考点】几何概型;两点间的距离公式.
【分析】本题考查的知识点是几何概型,我们要根据已知条件,求出满足条件的正方形ABCD的面积,及动点P到定点A的距离|PA|<1对应平面区域的面积,代入几何概型计算公式,即可求出答案.
【解答】解:满足条件的正方形ABCD,如下图示:
其中满足动点P到定点A的距离|PA|<1的平面区域如图中阴影所示:
则正方形的面积S正方形=1
阴影部分的面积
故动点P到定点A的距离|PA|<1的概率P==
故选:C
3. 已知F1,F2是双曲线的左,右焦点,点P在双曲线上,且,则下列结论正确的是
A.若,则双曲线离心率的取值范围为
B.若,则双曲线离心率的取值范围为
C.若,则双曲线离心率的取值范围为
D.若,则双曲线离心率的取值范围为
参考答案:
C
若,,得,若,时,双曲线离心率范围,故选C.
4. 在△ABC中,若,则A=( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
参考答案:
D
【分析】
已知边角关系式,利用正弦定理把边化角,即可得到角 。
【详解】,
由正弦定理可得:,
在中, ,
,即,
又在中, ,
或,
故答案选D,
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用——边角互化,利用,化简已知边角关系即可。
5. 命题:“若,则”的逆否命题是( )
A 若则 B 若,则
C 若,则 D 若,则
参考答案:
D
6. 椭圆和双曲线的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 已知,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知λ,μ∈R,下列结论中,错误的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 设是定义在R上的偶函数,当时,,且,则不等式的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-,-1)∪(1,+) D.(-,-1)∪(0,1)
参考答案:
A
略
10. 在ΔABC中,A=60°,B=45°,c=20cm,则a的长为
(A)30-10 (B)10(-)
(C)30+10 (D)10(+)
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,且在I上是减函数,则称y=f(x)在I 上是“弱增函数”.已知函数h(x)=x2﹣(b﹣1)x+b在(0,1]上是“弱增函数”,则实数b的值为( )
参考答案:
1
略
12. 若函数有两个零点,则应满足的充要条件是 .
参考答案:
13. 已知>0,>0,不等式+恒成立,则实数a的最大值为 。
参考答案:
1
14. A、B、C、D、E五人并排站成一排,若A,B必须相邻,且B在A的左边,那么不同的排法共有 种
参考答案:
24
15. (5分)已知复数z满足,则|z+i|(i为虚数单位)的最大值是 .
参考答案:
由,所以复数z对应的点在以(2,0)为圆心,以为半径的圆周上,
所以|z+i|的最大值是点(2,0)与点(0,﹣1)的距离加上半径,
等于.
故答案为.
由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以(2,0)为圆心,以为半径的圆周上,由此可得|z+i|的最大值是点(2,0)与点(0,﹣1)的距离加上半径.
16. cos15°sin15°= .
参考答案:
【考点】二倍角的正弦.
【分析】逆用正弦的二倍角公式即可.
【解答】解:∵cos15°sin15°=sin30°=,
故答案为:.
17. 若A为不等式组表示的平面区域,则当a从﹣2连续变化到0时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .
参考答案:
1
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,找出当a从﹣2连续变化到0时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域,利用三角形面积公式求解.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
当a从﹣2连续变化到0时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域为三角形OAB.
∴.
故答案为:1.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:AE⊥平面PAD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
参考答案:
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)通过证明AE⊥BC.PA⊥AE.说明PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD.
(2)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH,EH.由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.(法一)在Rt△ESO中,求出cos∠ESO的值即可.
(法二)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面AEF的一个法向量为,求出平面AFC的一个法向量,利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
【解答】(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.
∵E为BC的中点,∴AE⊥BC.
又BC∥AD,因此AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE.
而PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,
∴AE⊥平面PAD.
(2)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH,EH.
由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中,AE=,∴当AH最短时,∠EHA最大,
即当AH⊥PD时,∠EHA最大.此时tan∠EHA===,
因此AH=1.又AD=2,∴∠ADH=30°,∴PA=AD tan 30°=.(8分)
(法一)∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,
过O作OS⊥AF于S,连结ES,则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角,
在Rt△AOE中,EO=AE?sin 30°=,AO=AE?cos 30°=.
又F是PC的中点,如图,PC==,
∴AF=PC=,sin∠SAO==,
在Rt△ASO中,SO=AO?sin∠SAO=,
∴SE===,
在Rt△ESO中,cos∠ESO===,
即所求二面角的余弦值为.(12分)
(法二)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,∴A(0,0,0),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,,),
∴=(,0,0),=(,,).
设平面AEF的一个法向量为=(x1,y1,z1),
则因此,
取z1=﹣1,则m=(0,,﹣1),
∵BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,
∴BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一个法向量.
又=(﹣,3,0),
∴cos<,>===.
∵二面角E﹣AF﹣C为锐角,
∴所求二面角的余弦值为.(12分)
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理,二面角的求法,解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征,以便利用已知条件得到空间的线面关系,并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题.
19. (8分)已知是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若任意的,当时,总有.
(1)、判断函数在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)、解不等式:;
(3)、若对所有的恒成立,其中(是常数),求实数的取值范围.
参考答案:
20. (本题满分l2分)
如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,BAD=90°,PA平面ABCD,且PA=AD=AB=1。
(I)若BC=3,求异面直线PC与BD所成角的余弦值;
(II)若BC=2,求证:平面BPC平面PCD;
(III)设E为PC的中点,在线段BC上是否存在一点F,使得EFCD?请说明理由.
参考答案:
略
21. 已知为函数的一个极值点.
(1)求实数a的值,并讨论函数f(x)的单调性;
(2)若方程有且只有一个实数根,求实数m的值.
参考答案:
(1),.
.
∵ 为函数的一个极值点,
∴ ,
故,.
令,解得或.
∴ 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;
(2)方程,
整理得.因为,所以有
.
令,则.
令,,故在上是增函数.
∵ ,
∴ 当时,,即,单调递减;
当时,,即,单调递增;
∴ .
∵ 当或时,,
∴ 方程有且只有一个实数根时,实数.
22. 已知点C在圆上,A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),线段BC的垂直平分线交线段AC于点M.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)设圆与点M的轨迹E交于不同的四个点D,E,F,G,求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标.
参考答案:
解:(1)由已知得:,而,
所以点的轨迹是以,为焦点,长轴长的椭圆,
设,所以点的轨迹的方程:.………4分
(2)由对称性可知,四边形为矩形,不妨设为椭圆上第一象限的点,
则,
而,,且,
所以,
当且仅当,即, 时,取“”,
所以矩形的面积的最大值为,此时,
四个点的坐标为:,,,.………12分
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