山东省日照市五莲县汪湖镇中学高二数学理上学期期末试题含解析

山东省日照市五莲县汪湖镇中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开．如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到2点内到达，且小华在1点到2点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】几何概型． 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60}做出集合对应的线段，写出满足条件的事件对应的集合和线段，根据长度之比得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， ∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={x|0＜x＜60} 集合对应的面积是长为60的线段， 而满足条件的事件对应的集合是A={x|30＜x＜50} 得到 其长度为20 ∴两人能够会面的概率是 =， 故选：D 2. 点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（　　） A． B． C． D．π 参考答案： C 【考点】几何概型；两点间的距离公式． 【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示： 其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示： 则正方形的面积S正方形=1 阴影部分的面积 故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P== 故选：C 3. 已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上，且，则下列结论正确的是 A．若，则双曲线离心率的取值范围为 B．若，则双曲线离心率的取值范围为 C．若，则双曲线离心率的取值范围为 D．若，则双曲线离心率的取值范围为 参考答案： C 若，，得，若，时，双曲线离心率范围，故选C.   4. 在△ABC中，若，则A=(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 参考答案： D 【分析】 已知边角关系式，利用正弦定理把边化角，即可得到角 。 【详解】， 由正弦定理可得：， 在中， ， ，即， 又在中， ， 或， 故答案选D, 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用——边角互化，利用，化简已知边角关系即可。 5. 命题：“若，则”的逆否命题是(    ) A 若则      B  若，则 C 若，则    D  若，则 参考答案： D 6. 椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么的值是（    ）          A．                       B．                    C．                              D． 参考答案： A 略 7. 已知，则                              (     )    A．      B．     C．      D． 参考答案： C 8. 已知λ,μ∈R,下列结论中,错误的是(    ) A.               B. C.            D. 参考答案： C 略 9. 设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）     A．（－1，0）∪（1，+）            B．（－1，0）∪（0，1）     C．（－，－1）∪（1，+）     D．（－，－1）∪（0，1） 参考答案： A 略 10. 在ΔABC中，A=60°，B=45°，c=20cm，则a的长为 （A）30-10         （B）10（-）  （C）30+10        （D）10（+）   参考答案：  A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为(　　) 参考答案： 1 略 12. 若函数有两个零点，则应满足的充要条件是　　       ． 参考答案： 13. 已知＞0，＞0，不等式+恒成立，则实数a的最大值为               。 参考答案： 1 14. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共有     种 参考答案： 24 15. （5分）已知复数z满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是　　． 参考答案： 由，所以复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上， 所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径， 等于． 故答案为． 由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，﹣1）的距离加上半径． 16. cos15°sin15°=　  　． 参考答案： 【考点】二倍角的正弦． 【分析】逆用正弦的二倍角公式即可． 【解答】解：∵cos15°sin15°=sin30°=， 故答案为：． 17. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到0时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为　   　． 参考答案： 1 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，找出当a从﹣2连续变化到0时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域，利用三角形面积公式求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 当a从﹣2连续变化到0时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域为三角形OAB． ∴． 故答案为：1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点． （1）证明：AE⊥平面PAD； （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）通过证明AE⊥BC．PA⊥AE．说明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD． （2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可． （法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AEF的一个法向量为，求出平面AFC的一个法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形． ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC． 又BC∥AD，因此AE⊥AD． ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE． 而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A， ∴AE⊥平面PAD． （2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH． 由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角． 在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA===， 因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=AD tan 30°=．（8分） （法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD． 过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC， 过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE?sin 30°=，AO=AE?cos 30°=． 又F是PC的中点，如图，PC==， ∴AF=PC=，sin∠SAO==， 在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=， ∴SE===， 在Rt△ESO中，cos∠ESO===， 即所求二面角的余弦值为．（12分） （法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，）， ∴=（，0，0），=（，，）． 设平面AEF的一个法向量为=（x1，y1，z1）， 则因此， 取z1=﹣1，则m=（0，，﹣1）， ∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， ∴BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量． 又=（﹣，3，0）， ∴cos＜，＞===． ∵二面角E﹣AF﹣C为锐角， ∴所求二面角的余弦值为．（12分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题． 19. （8分）已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有． （1）、判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；    （2）、解不等式：； （3）、若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围． 参考答案： 20. (本题满分l2分)   如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BAD=90°，PA平面ABCD，且PA=AD=AB=1。   (I)若BC=3，求异面直线PC与BD所成角的余弦值；   (II)若BC=2，求证：平面BPC平面PCD；   (III)设E为PC的中点，在线段BC上是否存在一点F，使得EFCD?请说明理由．     参考答案： 略 21. 已知为函数的一个极值点. （1）求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性； （2）若方程有且只有一个实数根，求实数m的值. 参考答案： （1），． ． ∵ 为函数的一个极值点， ∴ ， 故，． 令，解得或． ∴ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； （2）方程， 整理得．因为，所以有 ． 令，则． 令，，故在上是增函数． ∵ ， ∴ 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； ∴ ． ∵ 当或时，， ∴ 方程有且只有一个实数根时，实数． 22. 已知点C在圆上，A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC的垂直平分线交线段AC于点M. （1）求点M的轨迹E的方程； （2）设圆与点M的轨迹E交于不同的四个点D，E，F，G，求四边形DEFG的面积的最大值及相应的四个点的坐标.   参考答案： 解：（1）由已知得：，而， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆， 设，所以点的轨迹的方程：．………4分 （2）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点， 则， 而，，且， 所以， 当且仅当，即， 时，取“”， 所以矩形的面积的最大值为，此时， 四个点的坐标为：，，，．………12分