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浙江省台州市上盘中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则的终边在( )
A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限
参考答案:
B
2. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 函数y=tan()在一个周期内的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】HC:正切函数的图象.
【分析】先令tan()=0求得函数的图象的中心,排除C,D;再根据函数y=tan()的最小正周期为2π,排除B.
【解答】解:令tan()=0,解得x=kπ+,可知函数y=tan()与x轴的一个交点不是,排除C,D
∵y=tan()的周期T==2π,故排除B
故选A
4. 下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( )
A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④
参考答案:
B
略
5. 求值( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:
6. 设函数,则( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
D
略
7. 函数在实数集上是减函数,则 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
8. 下列命题,正确命题的个数为( )
①若tanA?tanB>1,则△ABC一定是钝角三角形;
②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;
③若cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,则△ABC一定是等边三角形;
④在锐角△ABC中,一定有sinA>cosB.
⑤在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则△ABC一定是等边三角形.
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】转化思想;定义法;简易逻辑.
【分析】①切化弦,利用合角公式可得cos(A+B)<0,推出C为锐角;
②⑤利用正弦定理,再用和角公式得出结论;
④根据|cosX|≤1,不等式可转换为cos(A﹣B)=cos(B﹣C)=cos(C﹣A)=1,进而得出结论.
【解答】解:①若tanA?tanB>1,
∴tanA>0,tanB>0,即A,B为锐角,
∵sinAsinB>cosAcosB,
∴cos(A+B)<0,
∴A+B为钝角,故C为锐角,
则△ABC一定是锐角三角形,故错误;
②若sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得:a2+b2=c2,则△ABC一定是直角三角形,故正确;
③若cos(A﹣B)cos(B﹣C)cos(C﹣A)=1,
∵|cosX|≤1,
∴cos(A﹣B)=cos(B﹣C)=cos(C﹣A)=1
∵A、B、C<180°
∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0
∴A=B=C=60°
∴△ABC是等边三角形 则△ABC一定是等边三角形,故正确;
④在锐角△ABC中,
∴A+B>90°,
∴A>90°﹣B,
∴sinA>sin(90°﹣B),
∴sinA>cosB,故正确;
⑤在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
∵,由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA,
∴sin(B﹣A)=0,
∴B=A,同理可得A=C,
∴△ABC一定是等边三角形,故正确.
故选C.
【点评】考查了三角函数的和就角公式,正弦定理的应用.难点是对题中条件的分析,划归思想的应用.
9. 在△ABC中,已知 ,则此三角形的解的情况是( )
A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 有解但解的情况不确定
参考答案:
C
分析:利用正弦定理列出关系式,将的值代入求出的值,即可做出判断.
详解:在中,,
由正弦定理,
得,
则此时三角形无解,故选C.
点睛:本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
10. 若,则( )
A.2 B.4 C. D.10
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下面给出五个命题:
① 已知平面//平面,是夹在间的线段,若//,则;
② 是异面直线,是异面直线,则一定是异面直线;
③ 三棱锥的四个面可以都是直角三角形。
④ 平面//平面,,//,则;
⑤ 三棱锥中若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也一定互相垂直;
其中正确的命题编号是 *** .(写出所有正确命题的编号)
参考答案:
①③④⑤.
12. 已知tanα=3,则的值为 .
参考答案:
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanα=3,则==,
故答案为:.
13. 已知,则 .
参考答案:
14. 设集合,其中是五个不同的正整数,,若中所有元素的和为,则满足条件的集合的个数为 。
参考答案:
。
解析:,所以。由于中有,因此中有。若,则,于是,无正整数解。若,由于,所以,于是。又因为,当时,;当时,,因此满足条件的共有个,分别为。
15. 函数y=sin(2x﹣)的最小正周期为 .
参考答案:
π
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】由函数解析式找出ω的值,代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期.
【解答】解:函数,
∵ω=2,
∴T==π.
故答案为:π
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法,准确找出ω的值,熟练掌握周期公式是解本题的关键.
16. 等比数列中,,前三项和,则公比的值为 .
参考答案:
或1
17. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
参考答案:
1/3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题12分)
如图,已知是圆的直径,垂直于圆所在的平面,
是圆周上不同于的任一点,
求证:平面平面。
参考答案:
证明:∵是圆的直径,∴,
又∵垂直于圆所在的平面,∴,
∴平面,又在平面中,
所以,平面平面
略
19. 已知数列满足,.
(1)求证:数列成等比数列;
(2)求数列的通项公式.
参考答案:
(1)∵
∴
又,即
∴数列是以1为首项,2为公比的等比数列 ………6′
(2)由(1)知,
∴,又
∴,
即 …………………………………………12′
略
20. (本题满分14分):
已知直线与圆C:相交于两点,弦的中点为。(1)实数的取值范围以及直线方程
(2)若弦,求圆的方程
参考答案:
21. 已知函数.求函数的最小正周期、最小值和最大值;
参考答案:
解析:
函数的最小正周期、最小值和最大值分别是,,;
22. (12分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=.
(Ⅰ)证明:CB1⊥BA1;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥C1﹣ABA1的体积.
参考答案:
考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 计算题;证明题.
分析: (I)连接AB1,根据ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得到平面ABC⊥平面ABB1A1,结合AC⊥AB,可得AC⊥平面ABB1A1,从而有AC⊥BA1,再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1,最后根据线面垂直的判定定理,得到BA1⊥平面ACB1,所以CB1⊥BA1;
(II)在Rt△ABC中,利用勾股定理,得到AC==1,又因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1,得到A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高,且它的长度为1.再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积,最后根据锥体体积公式,得到三棱锥C1﹣ABA1的体积为.
解答: (I)连接AB1,
∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
∴平面ABC⊥平面ABB1A1,
又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB,AC⊥AB,
∴AC⊥平面ABB1A1,
∵BA1?平面ABB1A1,∴AC⊥BA1,
∵矩形ABB1A1中,AB=AA1,
∴四边形ABB1A1是正方形,
∴AB1⊥BA1,
又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线,
∴BA1⊥平面ACB1,
∵CB1?平面ACB1,∴CB1⊥BA1;
(II)∵AB=2,BC=,
∴Rt△ABC中,AC==1
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1C1=AC=1
又∵AC∥A1C1,AC⊥平面ABB1A1,
∴A1C1是三棱锥C1﹣ABA1的高.
∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半
∴=AB2=2
三棱锥C1﹣ABA1的体积为V=××A1C1=.
点评: 本题根据底面为直角三角形的直三棱柱,证明线面垂直并且求三棱锥的体积,着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点,属于中档题.
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