河南省许昌市第十八中学2022年高三数学理期末试题含解析

河南省许昌市第十八中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列四个图像中，是函数图像的是 参考答案： B 由函数定义知（2）不符合，故选B. 2. 如果向量，，那么等于（　　） A．（9，8） B．（﹣7，﹣4） C．（7，4） D．（﹣9，﹣8） 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】根据向量的坐标的运算法则计算即可． 【解答】解：向量，， 则于=（1，2）﹣2（4，3）=（1，2）﹣（8，6）=（1﹣8，2﹣6）=（﹣7，﹣4）， 故选：B． 3. 已知函数的导函数为（其中为自然对数的底数，为实数）,且在上不是单调函数，则实数的取值范围是 A．   B． C．    D． 参考答案： C 4. 已知点O为△ABC内一点，且则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 参考答案： C ,延长到，使,延长到，使，连结,取的中点，则所以三点共线且为三角形的重心，则可以证明。在△AOB’中，B为OB‘边中点，所以,在△AOC’中，C为OC‘边近O端三等分点，所以。在△B'OC'中，连BC'，B为OB‘边中点，所以，在△BOC'中，C为OC‘边近O端三等分点，所以，因为，所以△AOB： △AOC： △BOC面积之比为，选C. 5. 设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤3，x∈R}，则P∩Q等于（　　） A．{1} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3} 参考答案： B 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出． 【解答】解：Q={x||x|≤3，x∈R}=[﹣3，3]，P={1，2，3，4}， 则P∩Q={1，2，3}． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 有四个关于三角函数的命题： 或；     ； ；    . 其中真命题是（   ） A．            B．               C．             D． 参考答案： D 考点：命题真假 7. 设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（　　） A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2 参考答案： D 考点： 正弦函数的单调性．  专题： 综合题． 分析： 构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案． 解答： 解：令f（x）=xsinx，x∈， ∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x）， ∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数． 又f′（x）=sinx+xcosx， ∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增； 同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减； ∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立； 故选D． 点评： 本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题． 8. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限          B．第二象限        C．第三象限         D．第四象限 参考答案： B 【分析】 利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案. 【详解】∵复数===﹣1﹣3i， ∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3）， 故对应的点位于在第二象限， 故选：B．   9. 设为函数的单调递增区间，将图像向右平移个单位得到一个新的的单调减区间的是   A         B.         C.       D. 参考答案： D 因为函数为偶函数，在当为减函数，图像向右平移个单位，此时单调减区间为，选D. 10. 下列命题中的假命题是（  ） A．   B．   C.   D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点P（x,y）的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为       。 参考答案：   12. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为　　． 参考答案： 8﹣2 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案． 【解答】解：由f（x+1）=f（x﹣1），则f（x）=f（x﹣2），故函数f（x）为周期为2的周期函数． ∵函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点， ∴f（x）﹣a|x|=0在（﹣∞，0）上有四个解， 即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点， 如图所示： 又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1， ∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点， ∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0． ∵a＞0，∴a=8﹣2． 故答案为：8﹣2． 13. 已知点（x，y）满足约束条件 ，则的取值范围为　    　． 参考答案： [﹣，]   【考点】简单线性规划． 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=的几何意义求出其范围即可． 【解答】解：不等式组表示的可行域如图：z=的几何意义是可行域内的点与（﹣3，0）连线的斜率：结合图形可知在A处取得最大值，在B处取得最小值，由：解得A（2，4），z=的最大值为：； 由解得B（﹣1，﹣3），z=的最小值为：﹣． 则的取值范围为[﹣，]． 故答案为：[﹣，]． 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是一道中档题． 14. 已知那么 参考答案： 12 15. 已知数列满足且，则 的值是   ▲     。                                      参考答案： 16. 已知，则________________。 参考答案： 略 17. 已知，二项式展开式中含有项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有__________个． 参考答案： 18 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，根据题意求得的值，可得，再利用排列组合的知识求出结果． 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中含有项的系数为． 再根据含有项的系数不大于240，可得，求得． 再根据，可得，1，2，3，即，1，2，3 ， 则由集合中元素构成的无重复数字的三位数共， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）  质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理。假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉.    （I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求恰有1个厂家的奶粉检验合格的概率；    （Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时，这两个存在质量问题的厂家的奶粉至少有1个被检验出来的概率. 参考答案： 解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，恰有1个厂家的奶粉检验合格可以投放市场的概率为         ………………6分    （II）由题意，第一次抽检到合格奶粉可以投放市场时，这两个存在质量问题的厂家的奶粉至少有一个被检验出有如下两种情形：     一是第一次抽检的厂家奶粉不合格，第二次抽检的厂家奶粉合格，此时的概率为         ；   ………………2分     二是前两次检验的两个厂家奶粉都不合格，此时的概率为……2分     故所求的概率为    …………2分 19. 已知函数． （Ⅰ）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值； （Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； 参考答案： 略 20. 如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边. （1）设，求三角形铁皮的面积；   参考答案： （2）设，则，， ， ， 故，   略 21. （本小题满分14分）已知函数的最大值为2. （Ⅰ）求函数在上的单调递减区间； （Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积． 参考答案： （1）由题意，的最大值为，所以． 而，于是，． 为递减函数，则满足 ， 即． 所以在上的单调递减区间为． （2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得． 化简，得 ． 由正弦定理，得，．       ① 由余弦定理，得，即． ② 将①式代入②，得． 解得，或 （舍去）． ． 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，且是锐角三角形，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ） 由题意得 （Ⅱ） 为锐角三角形，且 ．