广东省惠州市柏塘中学高三数学理联考试题含解析

广东省惠州市柏塘中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数，的共轭复数为则，则（    ） A．        B．           C．           D．  0 参考答案： B ，所以。 2. 设是等差数列的前n项和，若   (    ) A．              B．             C．             D． 参考答案： A 3. 某人到甲、乙两市各个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（  ） A.            B.          C.            D. 参考答案： B 由茎叶图可知甲、乙小区空置房套数的中位数分别为和，故答案选B． 4. 关于函数，下列叙述有误的是(    ） A. 其图象关于直线对称 B. 其图象关于点对称 C. 其值域是[－1,3] D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到 参考答案： B 分析：把横坐标代入三角函数表达式，如果得到最大值或最小值，则为对称轴；把点的横坐标代入三角函数表达式中，若得到函数值为0，则点为对称中心；通过系数确定三角函数的值域为；三角函数平移变化中，横坐标伸长或缩短为原来的 。 详解：选项A，将代入中， 为最小值，所以是函数的一条对称轴 选项B，将代入中，，从而 ，所以点不是函数的一个对称中心 选项C，函数的最大值为3，最小值为-1，所以值域为 选项D，从3变为1，所以横坐标变为原来的 所以选B 点睛：本题综合考查了三角函数的轴对称、中心对称、值域和平移变化，主要根据每个性质的特征进行甄别判断，属于中档题。 5. 如果（，表示虚数单位），那么(   )      A．1                           B．                     C．2                    D．0 参考答案： A 略 6. 函数的零点所在的区间为   A．(-2，-l)    B．(-1，0)   C．(0，1)     D． (1，2) 参考答案： C 略 7. 复数的共轭复数是（   ） A．           B．         C．        D． 参考答案： B ,所以其共轭复数为.   8. 世界数学名题“3x+1问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的N=5，则输出i=（   ） A．3         B．5       C．6       D．7 参考答案： C 根据循环得， 结束循环，输出6，选C.   9. 8名运动员参加男子100米的决赛. 已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有                                       （    ）        A．360种                B．4320种               C．720种                D．2160种 参考答案： 答案：B 10. 从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP=，则球的体积为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征．  专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用几何图形得出△ABC和△PAB为正三角形，根据正三角形的几何性质得出=，=， 再直角三角形的几何性质得出=所以OA=整体求解即可，得出半径求解球的体积． 解答： 解： 连接OP交平面ABC于O′， 由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形， 所以O'A=AB=AP．因为AO'⊥PO，OA⊥PA， 所以=，=， = 所以OA===1， 球的半径为1， 故体积为×π×13=π， 故选：C 点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是_______ 参考答案： 【知识点】选修4-5 不等式选讲N4 【答案解析】[-2，5]  ∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10， ∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集为R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5． ∴实数a的取值范围是[-2，5]．故答案为：[-2，5]． 【思路点拨】利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依题意，解不等式a2-3a≤10即可． 【题文】（本小题满分13分） 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】 【解析】 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）π（2）最大值是0最小值是-1． （1）由题意得，f（x）=sin（+x）cos（-x）+cosxcos（π-x）=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x， 函数f（x）的最小正周期T==π； （2）由x∈[-，]得，2x∈[-，]，所以0≤cos2x≤1，即-1≤-cos2x≤0，则函数的最大值是0，最小值是-1． 【思路点拨】（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数f（x）的最小正周期； （2）由x∈[-， ]得2x∈[- ， ]，根据余弦函数的性质求出cos2x的范围，再求出函数的值域，即可求函数的最值． 12. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取人数为150人，那么该校的教师人数是          。 参考答案： 150  13. 已知集合，，则集合的真子集的个数为      ． 参考答案： 15   考点：集合的包含关系． 14. 若函数与的图像关于直线对称，则              . 参考答案： 略 15. 已知函数f（x）＝，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是_______．   参考答案： 略 16. 已知x,y满足约束条件，则的最大值为     ▲▲   ． 参考答案： 7 17. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为_________m3. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）． （Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集； （Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）分x≤﹣2，﹣2＜x＜2，x≥2三种情况求解； （Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出图象如图所示．根据图象求解． 【解答】解：（Ⅰ）∵m=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+1． ∴当x≤﹣2时，f（x）=﹣3，不可能非负； 当﹣2＜x＜2时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得，于是； 当x≥2时，f（x）=5＞0恒成立． 所以不等式f（x）≥0的解集为[，+∞)． （Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|． 令 作出图象如图所示． 于是由题意可得﹣2＜m＜2． 　 19. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.　 (1)求f的值；    (2)求f(x)的最大值和最小值． 参考答案： 20. 已知函数的图象与直线相切于点． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数的单调区间和极小值． 参考答案： (1) ∵，∴，             ∵函数在处的切线方程为， ∴，∴ (2)∵点在直线上，    ∴，∴， ∵在的图象上，∴， ∴ 21.     某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活 动，其中每个人被选中的可能性均相等。 (I)列出所有可能的选取结果； (II)求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率； (Ⅲ)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率 参考答案： 略 22. （本小题满分14分） 在长方体中，，点在棱上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的长． 参考答案： 证明：（Ⅰ）在长方体中， 因为面， 所以．    ……………………2分 在矩形中，因为， 所以． 所以面． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系． 依题意可知，，， 设的长为，则， ． 假设在棱上存在点，使得∥平面． 设点，则， ． 易知． 设平面的一个法向量为， 则，即．………………………………………………7分 令得，，所以． 因为∥平面，等价于且平面． 得，所以． 所以，，所以的长为．………………………………9分 （Ⅲ）因为∥，且点， 所以平面、平面与面是同一个平面． 由（Ⅰ）可知，面， 所以是平面的一个法向量．   ………………………………11分 由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为． 因为二面角的余弦值为， 所以，解得． 故的长为．     …………………………………………………………14分