贵州省贵阳市林东矿务局子弟中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

贵州省贵阳市林东矿务局子弟中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）对任意正实数x，y都有（　　） A．f（x?y）=f（x）?f（y） B．f（x?y）=f（x）+f（y） C．f（x+y）=f（x）?f（y） D．f（x+y）=f（x）+f（y） 参考答案： B 【考点】对数的运算性质． 【分析】利用对数的运算法则，得到对任意正实数x，y都有：f（x?y）=（x?y）=logax+logay=f（x）+f（y）． 【解答】解：∵f（x）=logax（a＞0且a≠1）， ∴对任意正实数x，y都有： f（x?y）=（x?y）=logax+logay=f（x）+f（y）， 故选B． 2. 中，，则等于    （    ） 参考答案： A 3. （5分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B=，则A∪B=（） A． {﹣1，} B． {1，} C． {﹣1，，1} D． {1，，b} 参考答案： C 考点： 并集及其运算． 专题： 集合． 分析： 根据集合关系即可得到结论． 解答： ∵A∩B=， ∴2a=，解得a=﹣1，则B={﹣1，b}， 则b=，即B={﹣1，}， 则A∪B={﹣1，，1}， 故选：C 点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 4. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(2)示，则该几何体的体积为     A.7            B.            C.             D.                   参考答案： D 略 5. 下列选项中与函数y=x是同一函数的是（　　） A．y=B．y=()2 C．y= D．y= 参考答案： A 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数． 【解答】解：对于A，函数y==x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数； 对于B，函数y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数； 对于C，函数y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数； 对于D，函数y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数． 故选：A． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 　 6. （5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面命题正确的是（） A． 若m⊥l，n⊥l，则m∥n B． 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C． 若m∥l，n∥l，则m∥n D． 若m∥α，n∥α，则m∥n 参考答案： C 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 对于四个选项利用空间线线关系、线面关系定理分别分析选择解答． 解答： 对于A，若m⊥l，n⊥l，则m与n的位置关系有相交、平行或者异面；故A错误； 对于B，α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交；如墙角；故B错误； 对于C，若m∥l，n∥l，根据平行线的传递性可以得到m∥n；故C 正确； 对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面，故D错误； 故选C． 点评： 本题考查了空间线线关系以及线面关系的判断；关键是熟练运用线面关系的性质定理和判定定理． 7. 在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为(     ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： B 【考点】解三角形． 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形． 【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=， ∴=， ∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形． 故选B 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用． 8. 已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（　　） A．﹣1 B． C． D． 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值． 【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0）， ∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k）， 由k+与垂直，得， 即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题． 9. 已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2，并且α、β是方程f（x）=0的两根，则实数m，n，α，β的大小关系可能是（　　） A．α＜m＜n＜β B．m＜α＜β＜n C．m＜α＜n＜β D．α＜m＜β＜n 参考答案： B 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【分析】先设g（x）=（x﹣m）（x﹣n），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到，然后结合图象判定实数α，β、m、n的大小关系即可． 【解答】解：设g（x）=（x﹣m）（x﹣n）， 则f（x）=（x﹣m）（x﹣n）+2， 分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移2个单位得到， 如图， 由图可知：m＜α＜β＜n． 故选B 10. 如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，为正方形的中心.为平面与平面与平面的交线，则直线与正方体底面所成角的大小为（   ） A．30°         B．45°       C．60°        D．90° 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为_______。 参考答案：   2 12. 给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，…，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为          %。 参考答案： 96 13. 定义一种集合运算A?B={x|x∈（A∪B），且x?（A∩B）}，设M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}，则M?N所表示的集合是        ． 参考答案： {x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3} 【考点】子集与交集、并集运算的转换． 【专题】常规题型；集合． 【分析】求出M∪N与M∩N，由新定义求M?N． 【解答】解：∵M={x|﹣2＜x＜2}，N={x|1＜x＜3}， ∴M∪N={x|﹣2＜x＜3}，M∩N={x|1＜x＜2}； 则M?N={x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}． 故答案为{x|﹣2＜x≤1或2≤x＜3}． 【点评】本题考查了集合的交集，并集运算，同时给出了新的运算，实质是补集运算的变形，同时考查了学生对新知识的接受与应用能力． 14. 已知、之间的一组数据如上表：则线性回归方程所表示的直线必经过点        .   参考答案： 略 15. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有三个零点，则实数k的取值范围是          ． 参考答案： [0，4） 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用． 【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案． 【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣k有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有三个不同的交点， 作出函数f（x）的图象如图： 由二次函数的知识可知，当x=﹣2时，抛物线取最高点为4， 函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当k∈[0，4）时， 两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点， 故答案为：[0，4）． 【点评】本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题． 16. 若，则         参考答案： （或） 17. 已知函数，，则的值为           . 参考答案： -13 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义域为R的函数在[1,2]上有最大值1，设 ． （1）求m的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若函数有三个不同的零点，求实数k的取值范围（e为自然对数的底数）． 参考答案： （1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）结合二次函数的性质 可判断g（x）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用换元q＝|ex﹣1|，结合二次函数的 实根分布即可求解． 【详解】（1）因为在上是增函数， 所以，解得． （2）由（1）可得： 所以不等式在上恒成立． 等价于在上恒成立 令，因为，所以 则有在恒成立 令，，则 所以，即，所以实数的取值范围为． （3）因为 令，由题意可知 令， 则函数有三个不同的零点 等价于在有两个零点， 当 ，此时方程，此时关于方程有三个零点，符合题意； 当 记为，，且，， 所以，解得 综上实数的取值范围 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，不等式中的恒成立问题与最值的相互转化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是中档题 19. 已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 （1）求q的值和{an}的通项公式； （2）设bn=，n∈N*，求数列{bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和． 【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可； （2）通过（1）知bn=，n∈N*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2， ∴a3=q，a5=q2，a4=2q， 又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列， ∴2×3q=2+3q+q2， 即q2﹣3q+2=0， 解得q=2或q=1（舍）， ∴an=； （2）由（1）知bn===，n∈N*， 记数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2?+3?+4?+…+（n﹣1）?+n?， ∴2Tn=2+2+3?+4?+5?+…+（n﹣1）?+n?， 两式相减，得Tn=3++++…+﹣n? =3+﹣n? =3+1﹣﹣n? =4﹣． 20. （1）已知f（x）=，α∈（，π），求f（cosα）+f（﹣cosα）； （2）求值：sin50°（1+tan10°）． 参考答案： 【考点】GI：三角函数的化简求值；3T：函数的值． 【分析】（1）根据所给的函数式，代入自变量进行