江苏省常州市儒林中学高二数学理模拟试题含解析

江苏省常州市儒林中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线y2=-x与直线y=k(x + 1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是（   ） A.等腰三角形                      B.直角三角形 C.等腰直角三角形                  D.钝角三角形 参考答案： B 2. 设集合,,,则集合C中元素的个数为(　　) A. 11 B. 9 C. 6 D. 4 参考答案： A 【分析】 由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果． 【详解】解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法； 或时, ,有两种选法； 共种选法； C中元素有个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型. 3. 定义一种运算“＊”：对于任意正整数满足以下运算性质：   （1）1＊1=1      （2） （n+1)＊1=n＊1+1  ， 则n＊1等于       A  n        B  n+1      C n-1        D n2    参考答案： A 略 4. ，已知，则 = (     ) A、-3       B、-1           C、  0          D、2 参考答案： A 5. 曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．y=x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=2x+1 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程． 【解答】解：由于y=e2x，可得y′=2e2x， 令x=0，可得y′=2， ∴曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即y=2x+1． 故选：D． 6. 设关于的不等式：解集为，若，则的取值范围是(  ) A．   B．   C．   D． 参考答案： C 7. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是（   ） A．               B． C．            D． 参考答案： D 8.  执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　　) A．120                             B．720 C．1440                            D．5040 参考答案： B 9. 某人计划投资不超过10万元，开发甲、乙两个项目，据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.在确保可能的资金亏损不超过1.8万元的条件下，此项目的最大盈利是             （    ）        A．5万元      B．6万元      C．7万元     D．8万元 参考答案： C 10. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(   ). A.           B. 5      C.           D. 参考答案：  D  双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题“存在有理数，使”的否定为        . 参考答案： 任意有理数，使 略 12. 在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题．则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为       ▲        ； 参考答案： .   略 13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果．则该公司一年后估计可获收益的均值是　　　　元． 参考答案： 4760 14. 等比数列{an}的前n项和Sn=a?2n+a﹣2，则a=　  　． 参考答案： 1 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】由等比数列的前n项和公式求出该数列的前三项，由此利用，能求出a． 【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和， ∴a1=S1=2a+a﹣2=3a﹣2， a2=S2﹣S1=（4a+a﹣2）﹣（3a﹣2）=2a， a3=（8a+a﹣2）﹣（4a+a﹣2）=4a， ∵， ∴（2a）2=（3a﹣2）×4a， 解得a=0（舍）或a=1． 故答案为：1． 15. 已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． 参考答案： -3 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解. 解析：的实部与虚部互为相反数， ，即. 故答案为：-3. 点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 16. 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　   　． 参考答案： 8 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值． 【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2， 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1． 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切， 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1， 得ax2+ax+2=0， 又a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8． 17. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 参考答案： 试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解． 解：P（A）=，P（AB）=． 由条件概率公式得P（B|A）=． 故答案． 点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 不等式选讲 已知函数． （1）若关于不等式的解集是，求实数的值； （2）在（1）条件下，若存在实数，使成立，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）由得， 所以，即， 所以，所以．                                 …………5分 （2）由（1）知，令， 则，， 所以的最小值为4，故实数的取值范围是．      …………10分 略 19. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点． （I）求证：MB∥平面PAD； （II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM∥AH，由此能证明BM∥平面PAD． （Ⅱ） 取AD中点O，连结PO．以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值． 【解答】（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH． 因为 M为中点，所以． 因为．所以AB∥HM且AB=HM． 所以四边形ABMH为平行四边形，所以 BM∥AH． 因为 BM?平面PAD，AH?平面PAD， 所以BM∥平面PAD．….. 解：（Ⅱ） 取AD中点O，连结PO． 因为 PA=PD，所以PO⊥AD． 因为 平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB． 以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 设AB=2，则，． 平面BCD的法向量， 设平面PBC的法向量， 由，得令x=1，则． ． 由图可知，二面角P﹣BC﹣D是锐二面角， 所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值为．….. 20. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （1）应收集多少位女生样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0,2],(2,4],(4,6],(6,8], (8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：   0.10   0.05   0.010   0.005     2.706   3.841   6.635   7.879     参考答案： （1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求. 试题解析： （1）由，所以应收集90位女生的样本数据。        （2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.                                                                 （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表   男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300   结合列联表可算得 有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关” 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 21. 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线的离心率e∈（2，3）；若p∨q为真，且p∧q为假，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】若p∨q为真，且p∧q为假，p、q一真一假，进而可得实数m的取值范围． 【解答】解：命题p为真时：0＜2m＜12