广西壮族自治区桂林市平等中学高二数学理联考试题含解析

广西壮族自治区桂林市平等中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设复数（i是虚数单位），则（  ） A. i B. －i C. D. 参考答案： D 【分析】 先化简，结合二项式定理化简可求. 【详解】，，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式. 2. 给定两个命题p、q，若是的必要而不充分条件，则是的（     ）   A充分而不必要条件   B.必要而不充分条件    C充要条件   D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 3. 若，则ABC为（    ）    A.锐角三角形    B.直角三角形      C.钝角三角形     D.正三角形 参考答案： Ｂ 4. 曲线在点(1，－1)处的切线方程为  (  　　)   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 A．y＝x－2    B．y＝－3x＋2     C．y＝2x－3          D．y＝－2x＋1   参考答案： D 略 5. 已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由设P（2cosα， sinα），则设=﹣cosα=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值． 【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上， 设P（2cosα， sinα），则设 =﹣cosα， =﹣cosα， 当sinα=0，cosα=1时， d的最小值为=﹣1=2﹣1， d的最小值2﹣1， 故选B． 6. 在中，若,，，则的面积为 （  ）      A． B． C．1 D． 参考答案： A 略 7. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若，则x＋y＋z的值为(　　) A．1　 　 　B.　　　C．2　 　　    D. 参考答案： C 8. .已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据古典概型概率公式可分别求得“第一次抽到红球”和“第一次和第二次都抽到红球”的概率，利用条件概率公式求得结果. 【详解】记“第一次抽到红球”为事件；记“第二次抽到红球”为事件 ， 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，属于基础题. 9. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则    ②若，，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 正确命题的个数是(    )   A．1 B．2 C．3      D．4 参考答案： D 10. 直线：x＋y－＝0的倾斜角为 A.300       B.450      C.600      D.1350 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_＿＿＿＿名学生。 参考答案： 40 12. 已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若9+=92×（a，b为正整数），则a+b=　　． 参考答案： 89 【考点】F1：归纳推理． 【分析】根据已知条件得出数字之间的规律，从而表示出a，b，进而求出a+b的值． 【解答】解：由已知得出：若（a，b为正整数），a=92﹣1=80，b=9，所以a+b=89， 故答案为：89 　 16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：   理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025． 根据表中数据，得到K2=≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为　　． 【答案】5% 【解析】 【考点】BO：独立性检验的应用． 【分析】根据题意，比较可得5.024＞4.844＞3.841，结合独立性检验的统计意义，即可得答案． 【解答】解：根据题意，K2=≈4.844， 又由5.024＞4.844＞3.841， 而P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025， 故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%， 故答案为：5% 13. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表所示：   x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 a   若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为      . 参考答案： 4.5 由题意可知：产量的平均值为，由线性回归方程为，过样本中心点，则，由 ，解得：，表中的值为，故答案为：.   14. 如图，在正方体ABCD—中，,分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小是             参考答案：    15. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，且，A为垂足，若直线AF的倾斜角为，则的值为           参考答案：   2     16. 在等比数列{an}中，已知=8，则=__________ 参考答案： 4 ∵在等比数列{an}中，a2a4a6=8，∴a2a4a6= =8， 解得a4=2，∴a3a5= =4． 故答案为：4．   17. 已知向量，，的最小值是         参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下： 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率； （Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有种，基本事件的个数为1+++，然后代入等可能事件的概率公式可求 （Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望 【解答】（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A， 则共有基本事件：1+++=16个， 则A事件包含基本事件的个数为=6个， 则 P（A）==， 故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为， （Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20． ，， ， ， ．    所以，随机变量X的分布列为： X 0 5 10 15 20 P . 19. 已知数列{an}满足a1＝1，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈ N＋，有2Sn＝p(2a＋an－1)(p为常数)． (1)求p和a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式． 参考答案： 20. 设函数    （1）求的单调区间和极值；    （2）若直线y=a与的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围;    （3）已知当恒成立，求实数k的取值范围. 参考答案： 解:（1） …………………1分 ∴当，…………………2分 ∴的单调递增区间是，单调递减区间是……3分 当；当.…………4分 （2）由（1）可知图象的大致形状及走向（图略） ∴当的图象有3个不同交点，……7分 （3） ∵上恒成立.  …………………………………………9分 令，由二次函数的性质，上是增函数， ∴∴所求的取值范围是……………………………………12分   略 21. （1）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6.求椭圆C的方程； （2）直线的右支交于不同的两点A、B.求实数k的取值范围； 参考答案： 解：（1）由已知，解得，所以……………         故椭圆C的方程为……………………………（7分） （2）（Ⅰ）将直线 ……① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 略 22. 已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，……；n条直线将一个平面最多分成个部分() （1）试猜想：n个平面最多将空间分成多少个部分()? （2）试证明（1）中猜想的结论. 参考答案： (1) 猜想：n个平面最多将空间分成个部分()；(2)见解析. 【分析】 （1）作图，三个平面最多将空间分成8个部分，结合平面结论形式，猜想个平面最多将空间分成个部分(). （2）利用数学归纳法证明结论. 【详解】（1）猜想：个平面最多将空间分成个部分()； （2）证明：设个平面可将空间最多分成个部分， 当３时,３个平面可将空间分成８个部分，，所以结论成立. 假设当时，，则当=时，第个平面必与前面的个平面产生条交线，而由（Ⅰ）知，这条交线把第个平面最多分成个部分，且每一部分将原有的空间分成两个部分，所以 　 . 因此，当=时，结论成立.由数学归纳法原理可知，对且，得证. 【点睛】本题考查类比推理，数学归纳法，确定与的关系是关键，考查逻辑推理能力，属于难题.