湖南省株洲市严塘中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

湖南省株洲市严塘中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为       （A）32         （B）16           （C）8       （D）4 参考答案： A 由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选A. 2. 如图,直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角为    A.          B.                C.            D. 参考答案： A 3. 已知集合，，则（       ） A.            B.          C.       D. 参考答案： B 4. 设，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（　　） A．            B．             C．             D．3 参考答案： D 5. 已知集合M={x|＜1}，N={y|y=}，则（?RM）∩N=（　　） A．（0，2] B．[0，2] C．? D．[1，2] 参考答案： B 【分析】先化简集合M，N求出M的补集，找出M补集与N的交集即可 【解答】解：∵＜1，即﹣1＜0，即＜0，等价于x（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜0，则M=（﹣∞，0）∪（2，+∞）， ∴（?RM）=[0，2]， ∵N={y|y=}=[0，+∞）， ∴（?RM）∩N=[0，2]， 故选：B 【点评】本题考查分式不等式的解法，考查集合的交、补运算，属于中档题． 6. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： A 试题分析：由题意得，函数和，满足，所以函数都是奇函数，函数满足，所以函数都是偶函数，故选A.   7. 在△ABC中，sinA=， ?=6，则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C．6 D．4 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】解三角形；平面向量及应用． 【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得||?|=10，而△ABC的面积S=||?|?sinA，代入数据计算可得． 【解答】解：由题意可得?=||?|?cosA=6， 又sinA=，故可得cosA=， 故||?|=10， 故△ABC的面积S=||?|?sinA=×10×=4． 故选D． 【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题． 8. 已知平面平面，，若直线，满足，，则（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 试题分析：，，因此C是正确的，故选C． 考点：空间线面的位置关系，线面垂直的性质． 9. 已知向量,向量,则的最大值为（    ） A．            B．               C．             D． 参考答案： A 10. （中数量积）已知向量，，x，y满足||=||=1， ?=0，且，则等于（　　） A． B． C．2 D．5 参考答案： B 【考点】平面向量的综合题． 【专题】计算题． 【分析】求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可． 【解答】解：由所给的方程组解得， ，， ∴=． 故选B． 【点评】本题中的方程组是关于向量的方程，这与一般的关于实数的方程在解法上没有本质区别，方法与实数的方程组的解法相似． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，若，则__________. 参考答案： 【分析】 利用求出，然后求. 【详解】向量，若，则 即答案为. 【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了向量的模的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 12. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C． 【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b， ∴a= ∵b+c=2a， ∴c= ∴cosC==﹣ ∵C∈（0，π） ∴C= 故答案为： 13. 的展开式中的常数项是___________ 参考答案： 220  略 14. 若复数满足是虚数单位），则 参考答案： 略 15. 已知向量若则  参考答案： 16.  若函数满足且时，，则函数的图象与图象交点个数为           ． 参考答案： 略 17. 已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为 ______ 参考答案： 60° 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知向量，其中． （1）若，求的值； （2）设函数 ，求的值域． 参考答案： 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1）（2） （1）因为，所以 所以即,因为，所以                               （2）因为 ， （ 所以当即时， 当即时，, 所以的值域为。                                【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再根据单调性最值。 19. (本小题满分13分) （Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)=       ，并加以证明； （Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)=           。 参考答案： 解：（Ⅰ）两角差的余弦公式      ……1分 在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量, 记两向量的夹角为，则  …4分 (1)如果,那么，∴ ∴                    ……………………6分 (2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z, 所以有 同样有            …………………………8分 （Ⅱ），          …………………………9分 证明如下：把公式中的换成， 得           ………………………………………………13分 20. 已知四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若为中点，证明：在线段上存在点，使得∥平面，并求出此时三棱锥的体积． 参考答案： (1)证明见解析； (Ⅱ) 当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，. 试题分析：第一问根据正方形的特点和面面垂直的性质，可以得出AF⊥BD，根据已知条件，结合线面垂直的判定定理，可证线面垂直，第二问根据平行四边形的性质，可以得出当N为线段EF中点时满足MN∥DF，根据线面平行的判定定理证得线面平行，利用等级法求得三棱锥的体积. 试题解析：(1)证明：正方形ABEF中，AF⊥AB，                   ∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF， 平面ABEF平面ABCD=AB，        ………………1分 ∴AF⊥平面ABCD．                 ………………2分 又∵BD平面ABCD， ∴AF⊥BD．                        ……………… 3分 又，AFAD=A，AF、AD平面ADF, ………………4分 ∴平面ADF．              ………………5分 (Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF．………………6分 证明如下：正方形ABEF中，NFBA，平行四边形形ABCD中，MDBA， NFMD，四边形NFDM为平行四边形， MN//DF．                               ………………7分 又DF平面ADF，MN平面ADF， ∴MN//平面ADF，                         ………………8分 过D作DHAB于H， ∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF．                                         ………………9分 在Rt?ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，              ………………10分 所以．………………12分 考点：线面垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积. 21. 已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． 参考答案： 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6 ∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8； （Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值． f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a） 令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a 当a＞1时， x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a） 2a f′（x）   + 0 ﹣ 0 +   f（x） 0 单调递增 极大值3a﹣1 单调递减 极小值     a2（3﹣a） 单调递增 4a3 比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=； 当a＜﹣1时， X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a） ﹣2a f′x）   ﹣ 0 +   f（x） 0 单调递减 极小值3a﹣1 单调递增 ﹣28a3﹣24a2 ∴g（a）=3a﹣1 ∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=． 点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 22. （12分）若二次函数满足,且 (1)求的解析式; (2)设,求在的最小值的表达式． 参考答案： 解：(1)设, 由得, 故． 因为, 所以, 整理得, 所以, 解得。 所以。 (2)由（1）得， 故函数的图象是开口朝上、以为对称轴的抛物线, ①当,即时,则当时, 取最小值3； ②当,即时,则当时, 取最小值； ③当,即时,则当时, 取最小值。 综上．