河北省承德市朝阳地镇中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1 D．（x﹣2）2+（y+2）2=1
参考答案：
D
【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入
圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．
【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），
则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1上，
∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，
即 （x﹣2）2+（y+2）2=1，
∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．
故选：D．
2. 若,则 ( )
A.a
11 (B) (C) (D)
参考答案：
B
7. 直线x－y＝0 的倾斜角为（ ）．
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案：
B
分析：根据直线的倾斜角与直线的斜率有关，故可先求出直线斜率再转化为倾斜角即可.
详解：直线x－y＝0 的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故选B.
8. 三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（ ）
A．（0.7）6＜log0.76＜60.7 B．（0.7）6＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜（0.7）6 D．log0.76＜（0.7）6＜60.7
参考答案：
D
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【解答】解：60.7＞1，0＜（0.7）6＜1，log0.76＜0，
可得60.7＞（0.7）6＞log0.76．
故选：D．
9. （5分）如图，一个圆锥的侧面展开图是中心角为90°面积为S1的扇形，若圆锥的全面积为S2，则等于（）
A． B． 2 C． D．
参考答案：
A
考点： 扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 计算题．
分析： 设出扇形的半径，求出圆锥的底面周长，底面半径，求出圆锥的侧面积、全面积即可．
解答： 设扇形半径为R．
扇形的圆心角为90°，所以底面周长是，
圆锥的底面半径为：r，，r=，
所以S1==；
圆锥的全面积为S2==；
∴==．
故选A．
点评： 本题是基础题，考查圆锥的侧面积，全面积的求法，考查计算能力．
10. 设集合，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
参考答案：
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{an}的，设，，且，则{an}的通项公式是__________．
参考答案：
【分析】
先根据向量平行坐标关系得，再配凑成等比数列，解得结果.
【详解】∵，，且，
∴，可得，即，
∴数列是公比为2的等比数列，，，，
故答案为.
【点睛】本题考查向量的平性关系，以及等比数列的通项公式，恰当的配凑是解题的关键.
12. 记的反函数为，则方程的解 ．
参考答案：
解法1由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
13. 已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为 .
参考答案：
2026
略
14. 曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则 . (表示与两点间的距离）.
参考答案：
略
15. 的值为_________.
参考答案：
略
16. 已知集合A={m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 ．
参考答案：
﹣
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】根据集合元素的特征，即可求出．
【解答】解：∵集合A={m+2，2m2+m}，若3∈A，
∴m+2=3，且2m2+m≠3，或m+2≠3，且2m2+m=3，
解得m=1，或m=﹣，
当m=1时，∴m+2=3，2m2+m=3，故1舍去，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
17. 在等比数列{an}中，已知，若，则的最小值是______.
参考答案：
12
【分析】
利用等比数列的通项公式化简，可得根据可判断将变形为，利用基本不等式的性质即可得出结果．
【详解】在等比数列中，
，
，
化为：．
若，则
，当且仅当时取等号．
若，则，与矛盾，不合题意
综上可得，的最小值是，故答案为12．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、基本不等式的性质，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0，|φ|<π)的一段图象(如图)所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调增区间。
参考答案：
(1) (2)
19. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．
（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：PB⊥BC．
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知利用线面平行的判定可证BC∥平面PAD，利用线面平行的性质可证BC∥l，进而利用线面平行的判定证明l∥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用线面垂直的判定可证AD⊥平面POB，由BC∥AD，可证BC⊥平面POB，利用线面垂直的性质即可证明BC⊥PB．
【解答】（本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，AD∥BC，
∴BC∥平面PAD…
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
∴BC∥l．…
又∵l?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴l∥平面ABCD．…
（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，
由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又∵OP∩OB=O，
∴AD⊥平面POB，…
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，
∴BC⊥PB．…
20. 已知集合，集合，集合 .
(1)求集合；
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）由得，所以；
（2）由知，所以.
21. 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下公式：f（x）=
（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）f（5）=﹣0.1×（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47，即可得出；
（2）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，可得f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）=59．当10＜x≤16时，f（x）=59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．即可得出；
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，即可得到学生一直达到所需接受能力55的状态的时间，进而判断出老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
【解答】解：（1）f（5）=﹣0.1×（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，
因此开讲5分钟比开讲20分钟时，学生的接受能力强一些．
（2）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，
f（x）在0＜x≤10时单调递增，最大值为f（10）=﹣0.1×（10﹣13）2+59.9=59．
当10＜x≤16时，f（x）=59；当x＞16时，函数f（x）为减函数，且f（x）＜59．
因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59），能维持6分钟．
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，
可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间=17﹣6=11＜13，
因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
22. （12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．
①求直线l1的方程．
②若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．
③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．