2022年上海实验中学高一数学理月考试题含解析

2022年上海实验中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【分析】根据分段函数是R上的减函数，可得各段上函数均为减函数，且在分界点x=1处，前一段的函数值不小于后一段的函数值． 【解答】解：若函数是R上的减函数， 则，解得a∈ 故选C 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，分段函数的单调性，其中根据分段函数单调性的性质，构造不等式组是解答的关键． 2. 若函数是幂函数，则 f(-2)= A．-1　 B．-2 　C．1 　D．－ 参考答案： D 3. 为了得到函数 的图象，可以将y＝cos2x的图象（　　 ） 　　A.向右平移 个单位长度　B. 向右平移 个单位长度　 C.向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 参考答案： 解析：令y＝f(x)＝cos2x，则f(x)=sin(2x+ ) ①　　进而在保持①中的A、 、 “三不变”的原则下，变形目标函数：　　 　　 ② 于是由y＝f(x)图象变换出 图象知：y＝f（x）图象应向右平移 个单位得到 ，故应选B. 4. 在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝（    ） A、               B、－             C、             D、－ 参考答案： D 5. 函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件： （1）f（0）=0，（2）f（）=f（x）（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】新定义． 【分析】已知条件求出f（1）、f（）、f（）、f（）、f（）的值，利用当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），可求出f（）的值，从而求出所求． 【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1﹣x）+f（x）=1，∴f（1）=1， 令x=，所以有f（）=， 又∵②f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=， 令x=，有f（）=f（）=，f（）=f（）=， 非减函数性质：当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（）， 而f（）==f（），所以有 f（）=，则 =． 故答案为： 【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题． 6.  已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x?R}的子集的个数为 (A)1            (B)2          (C)4           (D)不确定 参考答案： C 7. 圆的圆心和半径分别（   ）                  A．     B．   C．      D． 参考答案： A 8. 在同一坐标系中，函数y＝与y＝log2 x的图象是(     )． 参考答案： A 9. 设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D． 参考答案： 【考点】一元二次不等式的应用；不等关系与不等式． 【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项 【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立； B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立； C选项正确，因为?a＜b，故当a＜b时一定有； D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立； 选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b， 故选C． 10. 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 (　　) 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数满足：，，则_____ 参考答案： 4020。提示：=2，且 =4020 12. 不等式的解集为    ▲     ． 参考答案： 略 13. 设f（x）为一次函数，且f[f （x）]=4x+3，则f （x）的解析式　　． 参考答案： f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣3 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）为一次函数，从而可设f（x）=ax+b，从而得到f[f（x）]=a2x+ab+b=4x+3，这便可得到，从而解出a，b，便可得出f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，则： f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+3； ∴； ∴； ∴f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣3． 故答案为：f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣3． 【点评】考查一次函数的一般形式，待定系数法求函数解析式，以及多项式相等时，对应项系数相等． 14. 定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于　　　　　　对称. 参考答案： 直线y=x  解析：根据函数的定义,设x 为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x )为其相应的函数值,即为y , 即y = f(x ),则有x = ( y )　 ①　又由已知得　　 f[f(x )]=f(y )= x 　 ② 　　∴由①②知f(x)与其反函数 (x)为同一函数,　∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称. 15. 已知数列是等差数列，，，则该数列的通项公式_ _______ 参考答案： 略 16. 已知各项均为正数的等比数列{an}，满足，则______． 参考答案： 各项均为正数的因为是等比数列，所以 ，又因为各项均为正数，所以 ,故答案为. 17. 若，则的定义域为           参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题12分) 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量； （2）若，且与垂直，求向量与向量的夹角的余弦值. 参考答案： 19. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式. （2）若不等式，对任意恒成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （1）f (x)＝2sin(2x－)．    （2）（－3，2）． 【分析】 （1）利用，再用，求出即可；（2），得，转化成，最后求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且，所以， 故．    （2）由（1）知，当时，， ，即， 又对任意，恒成立， ，即， 故的取值范围是． 【点睛】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简. 20. （本小题满分13分） 设函数的图象的一条对称轴是. （1）求的值及在区间上的最大值和最小值； （2）若，，求的值. 参考答案： （1）的图象的一条对称轴是. 故， 又，故．                         …………………………………………（3分） 所以，． 即在区间上的最大值是1，最小值是． ………………………………………（7分） （2）由已知得， ，所以                      …………………………………………（13分） 21. 已知f（x）是定义在上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈，m+n≠0 时，有． （1）求证：f（x）在上为增函数； （2）求不等式的解集； （3）若对所有恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）由条件利用增函数的定义证得结论． （2）根据函数的奇偶性和单调性，把要解的不等式等价转化为一个不等式组，求得此不等式的解集即可． （3）根据函数的单调性求得f（x）的最大值，可得t2+t≥g（α）=+2tanα+2 对的恒成立，再求得g（α）的最大值，从而求得t的范围． 解：（1）证明：任取x1，x2∈且x1＜x2，则， ∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数． （2），等价于，求得0≤x＜， 即不等式的解集为． （3）由于f（x）为增函数， ∴f（x）的最大值为对恒成立 对的恒成立， 设，则． 又==1+tan2α+2tanα+2=（tanα+1）2+2， ∵α∈，∴tanα∈，故当tanα=1时， ． ∴t2+t≥6，求得t≤﹣3 t≥2，即为所求的实数t的取值范围． 【点评】本题主要考查函数的单调性的证明以及应用，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题． 22. (1)判断函数f(x)=在上的单调性并证明你的结论？ （2）猜想函数在上的单调性？（只需写出结论，不用证明） （3）利用题（2）的结论，求使不等式在上恒成立时的实数m的取值范围？ 参考答案： （1）在上是减函数，在上是增函数。 证明：设任意，则 （2）由上及f(x)是奇函数，可猜想：f(x)在和上是增函数， f(x)在和上是减函数， （3）∵ 在上恒成立 ∴在上恒成立. 由（2）中结论，可知函数在上的最大值为10， 此时x=1，要使原命题成立，当且仅当 ∴  解得. ∴实数的取值范围是