北京塔城地区第一高级中学高三数学理模拟试题含解析

北京塔城地区第一高级中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于１，则半径的取值范围是（　　） Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ． 参考答案： C 2. 已知复数：，则   （A）2    (B)       (C)     (D) 1 参考答案： C 略 3. 已知实数x，y满足，则|3x+y|的最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： C 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可． 【解答】解：实数x，y满足的可行域如图： 则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线，可知B是最优解， 由：，解得B（2，1）， 则|3x+y|的最大值为：3×2+1=7． 故选：C． 4. 右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是(       )                                                                                                                                      A．      B．    C．       D． 参考答案： A 5. 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 16 参考答案： C 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 把A中元素代入B中计算确定出B，进而求出A与B的交集，找出交集的子集个数即可． 解答： 解：把x=1，2，3，4分别代入得：B={1，，，2}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，2}， 则A∩B的子集个数是22=4． 故选：C． 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6. 将函数y=cos（2x+）图象上的点P（，t）向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P1，若P1位于函数y=cos2x的图象上，则（　　） A．t=﹣，m的最小值为B．t=﹣，m的最小值为 C．t=﹣，m的最小值为 D．t=﹣，m的最小值为 参考答案： C 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 t=cos（+）=﹣=cos（+2m），由此求得m的最小值． 【解答】解：将函数y=cos（2x+）图象上的点P（，t）向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P1（+m，t）， 若P1位于函数y=cos2x的图象上，则根据点P在函数y=cos（2x+）图象上，可得点P与点P1的横坐标相差m个单位， 且t=cos2（+m）=cos（+2m）=﹣sin2m，t=cos（+）=﹣sin=﹣，∴sin2m=， 故当m取最小正数时，2m=，求得m=， 故选：C． 7. 设集合A={x|x≥﹣1}，B={x|y=ln（x﹣2}，则A∩?RB=（　　） A．[﹣1，2） B．[2，+∞） C．[﹣1，2] D．[﹣1，+∞） 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】求定义域得集合B，根据交集与补集的定义写出运算结果． 【解答】解：集合A={x|x≥﹣1}， B={x|y=ln（x﹣2}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}， ∴?RB={x|x≤2}， ∴A∩?RB={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]． 故选：C． 　 8. 设，若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是 (     ) A．        　　B．      　　　C．  　　  　D． 参考答案： C   9. 实数集R，设集合，，则P∪()= A.[2，3]           B .（1，3）  C. （2，3]            D. (-∞,-2] ∪ [1,+∞) 参考答案： D 10. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线 及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是                   。 参考答案： 略 12. 一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是          cm3．   参考答案： 略 13. l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　   　． 参考答案： x+2y﹣3=0 【考点】两条平行直线间的距离． 【分析】l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．由斜率公式求得AB的斜率，取负倒数可得直线l1的斜率，用点斜式求直线l1的方程． 【解答】解：由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直． 由于AB的斜率为 =2，故直线l1的斜率为﹣，故它的方程是 y﹣1=﹣（x﹣1），化简为 x+2y﹣3=0， 故答案为 x+2y﹣3=0， 故答案为 x+2y﹣3=0． 14. 如图,正四棱锥中，， 是边的中点，动点在四棱锥的表面上运动，且总保持，点的轨迹所围成的图形的面积为,若以的方向为主视方向，则四棱锥的主视图的面积是           . 参考答案： 4 15. ．若命题“是真命题”，则实数a的取值范围是       。 参考答案： 或 若命题为真，则对应方程有解，即，解得或。 16. 二项式的展开式中，项的系数为               参考答案： x－y＋1－＝0 略 17. 已知二次函数的值域为，则的最小值为          。 参考答案： 10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知a∈R，函数f（x）=． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用． 【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间； （2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a）， 令f′（x）=0，得x1=1，x2=a， ①当a=1时，f′（x）=（x﹣1）2≥0， 所以f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增； ②当a＜1时， 当x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，当a＜x＜1时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减； ③当a＞1时， 当x＜1或x＞a时，f′（x）＞0，当1＜x＜a时f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减． 综上，当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减； 当a=1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增； 当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减． （2）由（1）知，当a＞1时， f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减， 所以f（x）在[0，1），（a，a+1]内单调递增，在（1，a）内单调递减， 则f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1）， 因为f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1）， 所以，则， 化简得，解得， 所以a的取值范围是（1，2）． 【点评】本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题． 19. 在中，角所对的边分别为，且满足，     ．   （I）求sinA   （II）求的面积． 参考答案： 解：解析：（Ⅰ）   又，，（II） ，所以，所以的面积为： 略 20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：       （Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间. 参考答案： 解：(Ⅰ)因              所以                                    即当              因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，              所以              解得          (Ⅱ)由(Ⅰ)知              21. 如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点． (1)证明：∥平面； (2)若二面角为直二面角，求的值． 参考答案： 解：（1）分别取的中点，再连结，则有 ，， 所以 则四边形为平行四边形，所以,则∥平面 （2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图） 设，则，所以平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为二面角为直二面角，所以，则有 略 22. 已知函数f（x）=lnx﹣x﹣lna，a为常数． （1）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，证明：的值随a的值增大而增大． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，推出结果． （2）x1，x2是f（x）的两个零点，通过lnx1﹣x1=lna，lnx2﹣x2=lna，则， 设，，利用g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，利用函数g（x）图象与直线y=a都有两个交点．横坐标分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），结合函数的图象，利用函数的单调性以及存在性，推出结论． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）.， 由f'（x）＞0得：0＜x＜1；由f'（x）＜0得：x＞1． 故f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减． 要使f（x）有两个零点，则f（1）＞0，解得：．… （2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴lnx1﹣x1=lna，lnx2﹣x2=lna，则，． 设，，所以g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故对任意，函数g（x）图象与直线y=a都有两个交点．横坐标分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），如下图： … 任取，设a1＜a2，则有g（ξ1）=g（ξ2）=a1，0＜ξ1＜1＜ξ2，g（η1）=g（η2）=a2，0＜η1＜1＜η2，由a1＜a2得：g（ξ1）＜g（η1），∵g（x）在（0，1）上递增，∴ξ1＜η1，同理得：ξ2＞η2，所以， 故的值随a的值增大而增大．…