资源描述
2022-2023学年湖北省荆门市钟祥第八中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量满足,且关于的函数在R上有极值,则向量的夹角的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知偶函数f(x)满足,且当时,,关于x的不等式在区间[-200,200]上有且只有300个整数解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
分析:由偶函数f(x)满足,可得函数周期为8,利用导数研究函数的单调性,画出函数图象,在[0,200]上有25个周期,且有150个整数解,每个周期内有6个解, 由可得结果.
详解:
由,可知函数的对称轴为,
由于函数是偶函数,,
所以函数是周期为8的周期函数,
当时,,
函数在上递增,在上递减,
最大值,且,
由选项可知,解得或,
根据单调性和周期性画出图象如图所示,由图可知,没有整数解,
根据函数为偶函数,在上有个周期,且有个整数解,
也即每个周期内有6个解,,
故,解得,故选D.
点睛:本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.
3. 已知M为△ABC内一点, =+,则△ABM和△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】向量的三角形法则.
【分析】作出图形,则两三角形的面积比等于两三角形高的比,转化为.
【解答】解:设,,以AD,AE为邻边作平行四边形ADME,延长EM交BC与F,
则EF∥AB,
∴==.
故选:A.
4. 已知函数f(x)=|sinx|?cosx,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称 B.f(x)的周期为π
C.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z) D.f(x)在区间[,]上单调递减
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用;三角函数的化简求值;正弦函数的图象.
【分析】f(x)=|sinx|?cosx=,进而逐一分析各个答案的正误,可得结论.
【解答】解:∵f(x)=|sinx|?cosx=,
故函数的图象关于直线x=kπ,k∈Z对称,故A错误;
f(x)的周期为2π中,故B错误;
函数|f(x)|的周期为,若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+kπ(k∈Z),故C错误;
f(x)在区间[,]上单调递减,故D正确;
故选:D
5. 设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数的图像为
参考答案:
B
略
6. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为( )
A、9 B、18
C、27 D、36
参考答案:
B
略
7. 设全集U=R,集合A={x|},B={x|1<<8},则(CUA)∩B等于
A.[-1,3) B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3)
参考答案:
B
8.
等比数列中,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:B
9. 如图在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,?=2,则?的值是( )
A.18 B.20 C.22 D.24
参考答案:
C
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由=3,可得=+, =﹣,进而由AB=8,AD=5, =3, ?=2,构造方程,进而可得答案.
【解答】解:∵=3,
∴=+, =﹣,
又∵AB=8,AD=5,
∴?=(+)?(﹣)=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2,
故?=22,
故答案为:C.
10. 函数f(x)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,以及函数值的符号,利用排除法进行求解,即可得到答案.
【详解】由题意,函数满足,即是奇函数,图象关于原点对称,排除B,又由当时,恒成立,排除A,D,
故选:C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,以及函数值的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性的定义,得出函数的奇偶性,再利用函数值排除是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合,从集合中任选三个不同的元素组成集合,则能够满足的集合的概率为= ;
参考答案:
答案:
12. 已知等比数列满足,则 ▲ .
参考答案:
16
13. 圆O中,弦,则的值为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用.
【分析】过点O作OD⊥BC交BC于点D,连接AD.则D为BC的中点,..又,,即可得出.
【解答】解:如图所示,过点O作OD⊥BC交BC于点D,连接AD.
则D为BC的中点,..又,,
∴====
=.
故答案为:.
【点评】本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14. 设函数cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)= .
参考答案:
15. 函数的反函数是,则反函数的解析式是 .
参考答案:
16. 复数在复平面上对应的点在第 象限.
参考答案:
四
略
17. 已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为 .
参考答案:
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】先根据三角形内角和,得到∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°,从而∠A=∠C,所以BC=AB=6,最后用正弦定理关于面积的公式,可得△ABC的面积为BC?ABsinB=,得到正确答案.
【解答】解:∵△ABC中,∠A=30°,∠B=120°,
∴∠C=180°﹣30°﹣120°=30°
∴∠A=∠C?BC=AB=6
由面积正弦定理公式,得
S△ABC=BC?ABsinB=×6×6sin120°=
即△ABC的面积为.
故答案为:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点,
S是圆O所在平面外一点,且总有SC⊥平面ABC,M是SB的中点,AB = SC = 2.
(Ⅰ)求证:OM⊥BC;
(Ⅱ)当四面体S-ABC的体积最大时,设直线AM与平面ABC所成的角为,
二面角B-SA-C的大小为,分别求的值.
参考答案:
(Ⅰ)略(Ⅱ),
试题分析:(Ⅰ)证明线线垂直,往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明
BC⊥平面SAC,从而得出OM⊥BC的;(Ⅱ)先找出四面体S-ABC的体积最大时成立的条件,
进而找出线面角及二面角的平面角,放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系,利用空间向量来解决.
试题解析:(Ⅰ)证:由于C是以AB为直径的圆上一点,故AC⊥BC
又SC⊥平面ABC,∴SC⊥BC
∵,∴BC⊥平面SAC,BC⊥SA 2分
O、M分别为AB、SB的中点,故OM平行于SA
∴OM⊥BC 4分
(Ⅱ)解:四面体S-ABC的体积
当且仅当时取得最大值 6分
方法一
取BC的中点N,连接MN、AN,则MN与SC平行,MN⊥平面ABC
∴, 9分
作CH⊥SA垂足为H,连接BH,由(Ⅰ)知BC⊥SA,∴SA⊥平面BCH,BH⊥SA
故,在中,, 12分
方法二
以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则
C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,,0),S(0,0,2)
进而M(0,,1),
是平面ABC的一个法向量,
故, 9分
设v = (x,y,z)是平面SAB的一个法向量,则,即
故可取,由(1)知,是平面SAC的一个法向量
故 12分
考点:空间点、线、面的位置关系
19. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,点E、F分别是棱PC和PD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,证明:AF⊥平面PCD.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)证明CD∥EF,AB∥CD,即可证明AB∥EF,利用线面平行的判定即可得解;
(2)利用平面PAD⊥平面ABCD,证明CD⊥AF,PA=AD,所以AF⊥PD,即可证明AF⊥平面PCD;
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)证明:因为点E、F分别是棱PC和PD的中点,
所以CD∥EF.
因为底面ABCD是矩形,
所以AB∥CD.可得:AB∥EF,
又因为EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.…
(2)证明:在矩形ABCD中,CD⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面PAD.
又AF?平面PAD,
所以CD⊥AF.
由(1)可知AB∥EF,
又因为AB∥CD,所以CD∥EF.由点E是棱PC中点,所以点F是棱PD中点.
在△PAD中,因为PA=AD,所以AF⊥PD.
又因为PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.…
20. 如图,一个小球从M处投入,通过管道自
上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落
到A,B,C,则分别设为l,2,3等奖.
(I)已知获得l,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量的分布列及期望;
(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动,记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次,求.
参考答案:
解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
(Ⅰ)解:由题意得ξ的分布列为
ξ
50%
70%
90%
p
则Εξ=×50%+×70%+90%=.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得1等奖或2等奖的概率为+=.
由题意得η~(3,)
则P(η=2)=()2(1-)=.
21. (本小题满分12分)在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?
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