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2022-2023学年浙江省宁波市奉化莼湖中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对
参考答案:
A
【考点】由三视图还原实物图.
【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状,将它们相交得到几何体的形状.
【解答】解:由三视图知,从正面和侧面看都是梯形,
从上面看为正方形,下面看是正方形,
并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱,
故这个三视图是四棱台.
故选A.
【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化.
2. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法,已知,下列程序框图设计的是求的值,在M处应填的执行语句是( )
A.n=i B.n=2018-i C.n=i+1 D.n=2017-i
参考答案:
B
由题意,n的值为多项式的系数,由2018,2017…直到1,
由程序框图可知,输出框中“M”处应该填入n=2018-i.
3.
等比数列中,,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
4. 若的展开式中的系数是80,则实数a的值是
A.-2 B. C. D. 2
参考答案:
答案:D
解析:的展开式中的系数=x3, 则实数的值是2,选D
5. 已知直线方程为则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
考点:直线的斜率;直线的倾斜角.
6. 同理3已知实数满足,则的最大值为( )
A.3 B.1 C.2 D.4
参考答案:
C
7. 若函数()是奇函数,函数()是偶函数,则( )
A.函数是奇函数 B.函数是奇函数
C.函数是奇函数 D. 函数是奇函数
参考答案:
B
略
8. .设集合,集合,则等于( )
A.{2} B.{1,2,3} C. {-1,0,1,2,3} D.{0,1,2,3}
参考答案:
D
9. 执行如图所示的程序框图,如果输入m=30,n=18,则输出的m的值为( )
A.0 B.6 C.12 D.18
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【专题】运动思想;试验法;算法和程序框图.
【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:如果输入m=30,n=18,
第一次执行循环体后,r=12,m=18,n=12,不满足输出条件;
第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足输出条件;
第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足输出条件;
故输出的m值为6,
故选:B
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是中档题.
10. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别是 ( )
A.、 B.、 C.、 D.、
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量a,b,满足|a|=1,| b |=,a+b=(,1),则向量
a+b与向量a-b的夹角是 ▲ .
参考答案:
12. 函数(,), 有下列命题:
①的图象关于y轴对称;
②的最小值是2 ;
③在上是减函数,在上是增函数;
④没有最大值.
其中正确命题的序号是 . (请填上所 有正确命题的序号)
参考答案:
①④
13. 方程有实根的概率为 .
参考答案:
14. 对任意实数a,b,定义F(a,b)=(a+b-|a-b|),如果函数,
那么的最大值为 .
参考答案:
2
15. 已知函数 f(x)=若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是 .
参考答案:
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】若关于x的方程恰有三个不相等的实数解,则函数f(x)的图象与直线y=有三个交点,数形结合可得答案.
【解答】解:函数的图象如下图所示:
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解,
则函数f(x)的图象与直线y=有三个交点,
当直线y=经过原点时,m=0,
由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得:x=,
当直线y=与y=﹣x2+2x相切时,切点坐标为:(,),
当直线y=经过(,)时,m=,
故m∈,
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,数形结合思想,难度中档.
16. 表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C,且△ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为,若平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC体积的最大值为 .
参考答案:
27
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:空间位置关系与距离.
分析:棱锥S﹣ABC的底面积为定值,欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大,应有S到平面ABC的距离取最大值,由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值.
解答: 解:∵表面积为60π的球,∴球的半径为,
设△ABC的中心为D,则OD=,所以DA=,则AB=6
棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值,
欲使其体积最大,应有S到平面ABC的距离取最大值,
又平面SAB⊥平面ABC,
∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上,而SO=,点D到直线AB的距离为,
则S到平面ABC的距离的最大值为,
∴V=.
故答案为:27.
点评:本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
17. 计算:cos215°﹣sin215°= .
参考答案:
【考点】二倍角的余弦.
【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°,从而得到结果.
【解答】解:由二倍角的余弦公式可得,
cos215°﹣sin215°=cos30°=.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设 ,a 为正实数
()当a =时,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围
参考答案:
19. 已知函数f(x)=(2﹣a)x﹣2(1+lnx)+a.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(0,)无零点,求a的最小值.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)对f(x)求导,计算其单调区间,注意到定义域的范围.
(2)将f(x)的表达式重新组合,即f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,分别研究函数m(x)=(2﹣a)(x﹣1),h(x)=2lnx,x>0,讨论当a<2时和当a≥2时的情况.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,则f′(x)=1﹣,定义域x∈(0,+∞),
由f′(x)>0,得x>2;由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞).
(2)f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,
令m(x)=(2﹣a)(x﹣1),x>0;h(x)=2lnx,x>0,则f(x)=m(x)﹣h(x),
①当a<2时,m(x)在(0,)上为增函数,h(x)在(0,)上为增函数.
结合图象可知,若f(x)在(0,)无零点,则m()≥h().
即(2﹣a)×(﹣1)≥2ln,∴a≥2﹣4ln2.
∴2﹣4ln2≤a<2.
②当a≥2时,在(0,)上m(x)≥0,h(x)<0.
∴f(x)>0,
∴f(x)在(0,)上无零点,
由①②得a≥2﹣4ln2,
∴amin=2﹣4ln2.
20. 已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求cos3+sin3的值;
(2)求tan(π-θ)-的值
参考答案:
解: (Ⅰ) ……………………………2分
, ……………………………3分
因为函数在点的切线与直线平行
所以, ……………………………5分
(Ⅱ)
令
当时,,结论不成立.………………………6分
当时, ……………………………7分
若,,结论不成立 ……………………………9分
若,则,在上,有,函数增;
在上,有,函数减,
只需 ,得到,
所以 ……………………………11分
若,,函数在有极小值,只需
得到,因为,所以 ………………………13分
综上所述, ……………………………14分
略
21. (12分)已知函数 画出输入自变量的值求函数值y的程序框图。
参考答案:
程序框图如下所示:
22. 在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、,且点在第一象限,当四边形的周长最大时,求直线的普通方程.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)首先求得的普通方程,由此可求得的参数方程;(Ⅱ)设四边形的周长为,点,然后得到与的关系式,从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点,从而求得的普通方程.
考点:1、极坐标方程与参数方程间的互化;2、辅助角的应用.
【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
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