2022-2023学年浙江省宁波市奉化莼湖中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年浙江省宁波市奉化莼湖中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（　　） A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．都不对 参考答案： A 【考点】由三视图还原实物图． 【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状． 【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形， 从上面看为正方形，下面看是正方形， 并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱， 故这个三视图是四棱台． 故选A． 【点评】本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化． 2. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在M处应填的执行语句是（    ） A．n=i         B．n=2018－i    C．n=i+1        D．n=2017－i 参考答案： B 由题意，n的值为多项式的系数，由2018，2017…直到1， 由程序框图可知，输出框中“M”处应该填入n=2018－i． 3. 等比数列中,,则的值为(    ).     A.                   B.                  C.                  D. 参考答案： 答案：A 4. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 　 A．-2　　　　     　B. 　　   　　C.    　　　　D. 2 参考答案： 答案：D 解析：的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D 5. 已知直线方程为则直线的倾斜角为（    ）   A.                  B.       C.           D. 参考答案： 考点：直线的斜率；直线的倾斜角. 6. 同理3已知实数满足，则的最大值为（  ） A．3         B．1       C．2        D．4 参考答案： C 7. 若函数（）是奇函数，函数（）是偶函数，则（     ） A．函数是奇函数        B．函数是奇函数 C．函数是奇函数            D． 函数是奇函数 参考答案： B 略 8. .设集合，集合，则等于（ ） A．{2}        B．{1,2,3}      C． {－1,0,1,2,3}     D．{0,1,2,3} 参考答案： D 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入m=30，n=18，则输出的m的值为(     ) A．0 B．6 C．12 D．18 参考答案： B 【考点】程序框图． 【专题】运动思想；试验法；算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：如果输入m=30，n=18， 第一次执行循环体后，r=12，m=18，n=12，不满足输出条件； 第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足输出条件； 第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足输出条件； 故输出的m值为6， 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题． 10. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别是                         （　　） A．、             B．、              C．、             D．、   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量  a＋b与向量a－b的夹角是  ▲   ． 参考答案： 12. 函数(，), 有下列命题： ①的图象关于y轴对称； ②的最小值是2 ； ③在上是减函数，在上是增函数； ④没有最大值． 其中正确命题的序号是                    . （请填上所  有正确命题的序号） 参考答案： ①④  13. 方程有实根的概率为             ． 参考答案：        14. 对任意实数a，b，定义F(a，b)=(a+b-|a-b|)，如果函数,     那么的最大值为         ． 参考答案： 2 15. 已知函数 f(x)=若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是　 　． 参考答案：   【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=有三个交点，数形结合可得答案． 【解答】解：函数的图象如下图所示： 若关于x的方程恰有三个不相等的实数解， 则函数f（x）的图象与直线y=有三个交点， 当直线y=经过原点时，m=0， 由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=， 当直线y=与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，）， 当直线y=经过（，）时，m=， 故m∈， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档． 　 16. 表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为      ． 参考答案： 27 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值． 解答： 解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为， 设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6 棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值， 欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值， 又平面SAB⊥平面ABC， ∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为， 则S到平面ABC的距离的最大值为， ∴V=． 故答案为：27． 点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力． 17. 计算：cos215°﹣sin215°=　　． 参考答案： 【考点】二倍角的余弦． 【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得， cos215°﹣sin215°=cos30°=． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  设     ，a 为正实数 （）当a =时，求f(x)的极值点； （Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围 参考答案： 19. 已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a． （1）当a=1时，求f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）对f（x）求导，计算其单调区间，注意到定义域的范围． （2）将f（x）的表达式重新组合，即f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，分别研究函数m（x）=（2﹣a）（x﹣1），h（x）=2lnx，x＞0，讨论当a＜2时和当a≥2时的情况． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，定义域x∈（0，+∞）， 由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2， 故f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）． （2）f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx， 令m（x）=（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，则f（x）=m（x）﹣h（x）， ①当a＜2时，m（x）在（0，）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数． 结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（）． 即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2． ∴2﹣4ln2≤a＜2． ②当a≥2时，在（0，）上m（x）≥0，h（x）＜0． ∴f（x）＞0， ∴f（x）在（0，）上无零点， 由①②得a≥2﹣4ln2， ∴amin=2﹣4ln2． 20. 已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根． (1)求cos3＋sin3的值； (2)求tan(π－θ)－的值 参考答案： 解： （Ⅰ）              ……………………………2分 ，                                  ……………………………3分   因为函数在点的切线与直线平行 所以，                              ……………………………5分 （Ⅱ） 令 当时，，结论不成立．………………………6分 当时，                            ……………………………7分 若，，结论不成立                 ……………………………9分 若，则，在上，有，函数增； 在上，有，函数减， 只需 ，得到， 所以                ……………………………11分 若，，函数在有极小值，只需 得到，因为，所以   ………………………13分 综上所述，                                      ……………………………14分 略 21. (12分)已知函数  画出输入自变量的值求函数值y的程序框图。 参考答案： 程序框图如下所示：      22. 在平面直角坐标系，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的参数方程； （Ⅱ）过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、，且点在第一象限，当四边形的周长最大时，求直线的普通方程． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）． 试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程． 考点：1、极坐标方程与参数方程间的互化；2、辅助角的应用． 【易错点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．