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2022-2023学年河北省沧州市大刘中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的最小正周期为
A. B. C. D.
参考答案:
B
通分可得所以的最小正周期
2. 设函数,若是函数是极大值点,则函数的极小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. .已知x,y满足约束条件,则的最大值与最小值之和为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
参考答案:
C
【分析】
首先画出可行域,然后求得最大值和最小值,最后求解两者之和即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数即:,
其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值,
据此可知目标函数的最大值为:,
其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,
联立直线方程:,可得点的坐标为:,
据此可知目标函数的最小值为:.
综上可得: 的最大值与最小值之和为8.
故选:C.
【点睛】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
4. 命题“存在,使得”的否定是 ( )
A.不存在,使得” B.存在,使得”
C.对任意的,有0 D.对任意的,使得
参考答案:
D
特称命题的否定式全称命题,所以选D.
5. 半圆的直径=4, 为圆心,是半圆上不同于、的任意一点,若为半径的中点,则的值是
A. -2 B . -1 C . 2 D. 无法确定,与点位置有关
参考答案:
A
略
6. 已知,i是虚数单位,是z的共轭复数,则下列说法与“z为纯虚数”不等价的是( )
A. B. 或,且
C. 且 D.
参考答案:
D
【分析】
根据复数的基本概念逐一判断。
【详解】A.若z为纯虚数,则(且),那么,故有若,则z为纯虚数,因此与“为纯虚数”等价;B.令,则,由或,得,,又,故,B正确;C. 且与“为纯虚数”等价;D.若,有,与“为纯虚数”不等价,故选D.
【点睛】本题考查复数基本概念的辨析,属于基础题。
7. 已知函数,且,则当y≥l时,的取值范围是
A.[,] B.[0,] C.[,] D.[0,]
参考答案:
A
8. 不等式的解集为( )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
参考答案:
D
9. 如果执行右面的算法语句输出结果是2,则输 入的值是( )科
A.0 B.0或2 C.2 D.或2
参考答案:
B
略
10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为( )
A.20% 369 B.80% 369 C.40% 360 D.60% 365
参考答案:
A
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设“衰分比”为a,甲衰分得b石,由题意列出方程组,由此能求出结果.
【解答】解:设“衰分比”为a,甲衰分得b石,
由题意得,
解得b=125,a=20%,m=369.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在的最大值为4,最小值为,则实数
的值是
参考答案:
12. 函数的所有零点之和等于______.
参考答案:
2
【分析】
令,利用换元法可解得方程的根,即得函数的零点.
【详解】令,则.
设,则,解得(舍去)或.
所以,解得或.
所以函数有两个零点,它们之和等于
【点睛】本题考查函数的零点,通过解方程来求函数的零点.
13. △ABC中, ,若 ,则
=______________.
参考答案:
【知识点】平面向量的线性运算;向量的数量积. F2 F3
解析:因为,所以
. 故填.
【思路点拨】先把用表示,再用向量数量积的运算性质求解.
14. 在的展开式中,常数项为
参考答案:
15. 已知双曲线1(a>0,b>0),过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为_____.
参考答案:
【分析】
根据题意可得,再利用双曲线的几何性质表示出的关系式,进而求得和的关系式,则可求得双曲线的离心率,得到答案.
【详解】由题意,设右焦点为,
因,所以为等腰直角三角形,所以,可得,
又由,整理得,解得,
又因为,所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围).
16. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球,先摸出1只球,记下颜色后放回箱子,然后再摸出1只球,则摸到两只不同颜色的球的概率为_____
参考答案:
略
17. 已知数列对任意的有,若,则 .
参考答案:
4036
令m=1,则可知 ∴为等差数列,首项和公差均为2。
∴,∴
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.
(Ⅰ)求tanC的值;
(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.
参考答案:
(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=cosC+sinC.
整理得:tanC=.
(Ⅱ) sinC=. 又由正弦定理知:,故.
又因为sinB=cosC=
∴ABC的面积为:S==.
19. 在中, 已知.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
参考答案:
(1);(2).
考点:三角变换公式及正余弦定理等有关知识的综合运用.
20. 若对满足的任意实数,使得不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:由已知得,设。。。。。。。4分
∴由得,舍。
当时,,当时, 。。。。。。。。8分
在处取得最小值 .。。。。。。。。10分
21. 甲、乙两人投掷硬币.甲将一枚硬币投掷3次、记正面朝上的次数为ζ;
乙将一枚硬币投掷2次,记正面向上的次数为η.
(1)求甲在投掷过程中两次正面向上的概率;
(2)若规定ζ>η时甲获胜,求甲获胜的概率.
参考答案:
1)因为此试验为独立重复试验,所以应用公式
所以甲在投掷过程中有两次正面向上的概率为:
(4分)
(2)甲获胜情况有三种:
①甲正面向上1次,乙正面向上0次:
(6分)
②甲正面向上2次,乙正面向上0次或1次:
……… (8分)
③甲正面向上3次,乙正面向上0次、1次或2次,
………………… (10分)
综上所述,甲获胜的概率为:
22. 设的定义域为,对于任意正实数恒有且当时,.
(1)求的值;
(2)求证:在上是增函数;
(3)解关于的不等式,其中
参考答案:
解析: (1)令
---------------------2’
(2)设,则,
即
(3)由,又
--------------6’
又由(2)知,在为单调递增函数
--------------------------------------------7’
1
此时
------------9’
2,-----10’
3当
,
解之得 -------------------11’
综上: 当原不等式得解集为
当原不等式得解集为
当原不等式得解集为-----12’
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