2022-2023学年山东省淄博市临淄区皇城镇中学高三数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年山东省淄博市临淄区皇城镇中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在上的函数，满足，，若，且，则有（    ） A．   B．   C．   D．不确定 参考答案： 略 2. 公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：，sin15°≈0.2500，sin7.5°≈0.2588）（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得： n=6，S=3sin60°=， 不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3， 不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056， 满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24． 故选：C． 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题． 3. 若是纯虚数，则实数=  （    ） A．1     B．-1     C．     D．- 参考答案： A 略 4. 已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0，则y=f(x)的图象可能是下图中的                         （    ） A．①②          B．①③          C．②③          D．③④     参考答案： D 5. 北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积，设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S= [（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（　　） A．83 B．84 C．85 D．86 参考答案： C 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，代入公式，即可得出结论． 【解答】解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S= [（2b+d）a+（b+2d）c]+（c﹣a）=85， 故选C． 6. 已知全集，则（     ）   A、 B、 C、 D、 参考答案： D 7. 若a是f（x）=sinx﹣xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则?x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（　　） A． B．cosa≥ C．≤a≤2π D．a﹣cosa≥x﹣cosx 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用导数研究单调性，运用零点的存在性定理判断出a所在的范围，根据f（x）的正负确定g（x）=的最小值． 【解答】解：f′（x）=xsinx， 当x∈（0，π），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0， ∴a∈（π，2π）， ∴当x∈（0，a），f（x）＞0，当x∈（a，2π），f（x）＜0， 令g（x）=，g′（x）=， ∴当x∈（0，a），g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增， ∴g（x）≥g（a）． 故选：A． 【点评】本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力． 8. 已知，，则=   （A）     （B）      （C）      （D） 参考答案： A 略 9. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于(     ) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 参考答案： B 考点：线性回归方程． 专题：计算题；概率与统计． 分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a． 解答： 解：∵==5，==54 ∴这组数据的样本中心点是（5，54） 把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a， ∴a=1.5， 故选：B． 点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一． 10. 圆与直线相切于点，则直线的方程为 A.                    B.     C.                    D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 当输入的实数x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是　　． 参考答案： 考点： 程序框图． 专题： 图表型；算法和程序框图． 分析： 由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率． 解答： 解：设实数x∈， 经过第一次循环得到x=2x+1，n=2， 经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3， 此时输出x， 输出的值为4x+3， 令4x+3≥103得x≥25， 由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P==． 故答案为：． 点评： 解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题． 12. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是            人. 参考答案： 760 13. 已知a，b均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6，则cos2θ+sin2θ的最大值为　_________　． 参考答案： 略 14. 右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于         ，．     参考答案： 由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以 15. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是                参考答案： 16. 定义：对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，称函数在上是“”函数。已知下列函数：①；　②；③()；　④，其中属于“”函数的序号是            ．（写出所有满足要求的函数的序号） 参考答案： ③ 17. （文）求函数的最小值   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别 是,点的纵坐标为且点在线段上，过点作圆的切线,切点为 （1）若，，求直线的方程； （2）经过三点的圆的圆心是， ①将表示成的函数，并写出定义域． ②求线段长的最小值   参考答案： （1）     解得或（舍去）.     由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.     所以直线PA的方程为，即     直线PA与圆M相切，，解得或     直线PA的方程是或 （2）① 与圆M相切于点A， 经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点. 的坐标是 () ②当，即时， 当，即时， 当，即时 则. 19. (本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知       (I)求sinC的值； (Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长． 参考答案： （Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π 所以sinC=. （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4 由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=± 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0 解得   b=或2 所以   b=            b=        c=4      或       c=4 20. 已知等差数列的首项，公差，且第项、 第项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项．      （1）求数列，的通项公式； （2）若数列对任意，均有成立. ①求证：；    ②求． 参考答案： 解： （1）   解得   又 所以，等比数列的公比 （2）①证明：  当时， 两式相减，得  . ②由①得 当时，不满足上式  故 略 21. 已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1 （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣a（x+1）． 参考答案： 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数以及函数的定义域，（1）当a≤﹣1时，f′（x）的符号，判断f（x）的单调性．（2）当a＞﹣1时，由f′（x）的符号以及好的单调性． （Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成立，转化为只需证在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出两个函数的导函数，然后求解两个函数的最值，通过F（x）max＜g（x）min，得到a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）由题知… （1）当a≤﹣1时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增… （2）当a＞﹣1时，由f′（x）＞0得，由f′（x）＜0得 即f（x）在上递增；  在上上递减… 综上所述：当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上递增； 当a＞﹣1时，f（x）在上递增，在上递减… （Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成立 只需证在（0，+∞）上恒成立 令，因为 易得F（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故F（x）≤F（1）=﹣1… 由得 当0＜x＜e时，g′（x）＜0；     当x＞e时，g′（x）＞0． 所以g（x）在（0，e）上递减，在（e，+∞）上递增． 所以… 又a＜1，∴，即F（x）max＜g（x）min 所以在（0，+∞）上恒成立 故当a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），恒成立… 22. （本小题满分14分）已知函数有两个极值点，且直线与曲线相切于点。 (1) 求和 (2) 求函数的解析式； (3) 在为整数时，求过点和相切于一异于点的直线方程 参考答案： 解：(1)设直线，和相切于点 有两个极值点，于是 从而   ………………4分 （2）又，且为切点。 ③   ①   ②   则      ，由 ③ 求得或，由①②联立知。在时，；在时，  ，或        …9分 （3）当为整数时，符合条件，此时为，设过的直线和 ⑥