2022-2023学年山东省临沂市蒙阴第一中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市蒙阴第一中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0       B. 1      C. 2       D. 3 参考答案：    D   2. 已知命题命题则下列命题中为真命题的是(   )                               参考答案： B 3. 已知是上的减函数，那么的取值范围是 A． B． C．   D． 参考答案： D 略 4. 若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有（  ） A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3） 参考答案： D 【分析】因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）． 用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=ex联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案． 【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x， 又∵f（x）﹣g（x）=ex ∴解得：，， 分析选项可得： 对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误； 对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误； 对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误； 对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确； 故选D． 【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用．另外还考查了指数函数的单调性． 5. 设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（  ） A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件      C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 6. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（     ） A        B       C      D  参考答案： A 7. 设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（　　） ①对一切x∈（﹣∞，1）都有f（x）＞0； ②存在x∈R+，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： D 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明．②可以举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断． 【解答】解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c， ∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1， 当x∈（﹣∞，1）时，f（x）=ax+bx﹣cx=cx[+﹣1] ＞cx?（）=cx?＞0，∴①正确． ②令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形， 但a2=4，b2=9，c2=16却不能构成三角形，∴②正确． ③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0， ∵f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0， ∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点， 即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确． 故选：D 8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（    ） A.    B.          C.         D. 参考答案： D 据题设分析知，直线为函数图象的一条经过一最低点对称轴，，又当时，，故选D.   9. 设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（    ） A.      B.    C.      D. 参考答案： C 略 10. 设函数与的图像的交点为，则所在的区间是       A．     B．       C．       D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且 ．设是底面内一点, 定义,其中、、分别是三棱 锥、 三棱锥、三棱锥 的体积．若,且恒成立, 则正实数的最小值为______________. 参考答案： 1 略 12. 等差数列的前项和为，若，则        参考答案： 6 可已知可得, 13. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为　　． 参考答案： 略 14. 若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为______________． 参考答案： 【分析】 由函数是奇函数可得，得到函数解析式，则可得，再求在处的导函数即可得到切线斜率，根据点斜式写出切线方程即可. 【详解】为奇函数,则，， ，，又， 曲线在点处的切线方程为,即. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，由奇函数求得参数，得到函数解析式是本题解题关键. 15. 已知集合，且下列三个关系：???有且只有一个正确，则 参考答案： 201 16. 已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为　   ． 参考答案： ﹣   【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值． 【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数， ∴，x＞0， 当a≤e时，f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立， 当a＞e时，由，得x=， ∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0， 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∴当x=时，f（x）取最大值， f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0， ∴ln（a﹣e）+b+1≥0， ∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e）， ∴（a＞e）， 令F（x）=，x＞e， F′（x）==， 令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e， H′（x）=ln（x﹣e）+1， 由H′（x）=0，得x=e+， 当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数， x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数， ∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣， ∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0， ∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数， 当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九， ∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣， ∴的最小值为﹣． 故答案为：﹣． 17. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师最多是         名. 参考答案： 10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分，每题5分） （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。 参考答案： 19. 已知， （1）   若，求； （2）   是否存在实数a使得集合中的元素个数为4个？若存在，求出所有的实数a；若不存在，说明理由. 参考答案： （1）；（2） 20. （14分）（2013?合肥二模）已知函数f（x）=xlnx． （I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值； （II）若?x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根． 即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则﹣a≤h（x）min． （II））由已知?x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立?．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可． 解答： 解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点， ∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根． 即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根． 令h（x）=，（x＞0），则=．   解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．   ∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．   ∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．   ∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．   （II）∵?x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立， ∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．   令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．   =， 令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；   令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．   ∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0， ∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]． 点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键． 21. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等. （1）请列出所有可能的结果； （2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率； （3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率. 参考答案： （1）解：从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为： ，，，，，，，，，，，，，，，， 共种情况. （2）解：设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件， 事件的所有可能的结果为： ，，，，，，共种情况， ∴. （3）解：设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于”为事件， 事件的所有可能的结果为： ，，，，，，，，，，，共种情况， ∴. 22. (本小题满分12分) 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，证明：当时，． 参考答案： （1）． 若，，在上递减； 若，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增．4分 (2)由(1)知，若，，在上递减， 又，故不恒成立． 若，当时，单调递增，，不合题意． 若，当时，单调递减，，不合题意． 若，在上单调递减，在上单调递增． 符合题意． 故，且(当且仅当时取“”)． 8分 当时， 因为，所以． 因此．12分