2021-2022学年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2021-2022学年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)， dy=f(x)△x，则当△x>0时，有( ) A.△y>dy>0 B.△Ay>0 D.dy<△y<0 2.（）。 A.e-6 B.e-2 C.e3 D.e6 3.  4.函数y=ex+e-x的单调增加区间是 A.(-∞，+∞) B.(-∞，0] C.(-1，1) D.[0，+∞) 5.A.0 B.1 C.2 D.不存在 6.二次积分等于( ) A.A. B. C. D. 7.（）。 A.e-2 B.e-2/3 C.e2/3 D.e2 8. 曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 9.微分方程y’-4y=0的特征根为（　　） A.0，4 B.-2，2 C.-2，4 D.2，4 10.级数(k为非零正常数)( )． A.A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与k有关 11. 12.A.0 B.1 C.e D.e2 13.( ) A.A.2xy＋y2 B.x2＋2xy C.4xy D.x2＋y2 14.设f(x)在点x0处连续，则下面命题正确的是( ) A.A. B. C. D. 15. 16. A.3 B.2 C.1 D.0 17.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则( )。 A.A平衡，B不平衡 B.A不平衡，B平衡 C.A、B均不平衡 D.A、B均平衡 18.点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是( ) A.(-1，2，-5) B.(-1，2，5) C.(1，2，5) D.(1，-2，-5) 19.过点（0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y-3z=2的直线方程为 A. B. C. D.-2x+3(y-2)+z-4=0 20.  二、填空题(20题) 21.微分方程y＝0的通解为 ． 22. 微分方程y'=ex的通解是________。 23. 24.设z=ln(x2+y)，则dz=______． 25.  26.  27. 28.设z=sin(x2y)，则=________。 29.设x2为f（x)的一个原函数，则f（x)=_____ 30. 31. 32. 33. 34.  35. 曲线y=2x2-x+1在点(1，2)处的切线方程为__________。 36. 37.  38.  39. 40. 三、计算题(20题) 41. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 43.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 44.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 46.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 48. 49. 50. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 51.  52. 求微分方程的通解． 53.证明： 54. 55. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 56. 57.  58.  59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 60. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 四、解答题(10题) 61.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。 62.计算 63.  64.  65.  66.  67.  68.  69. 70.  五、高等数学(0题) 71.用拉格朗日乘数法计算z=x2+y2+1在条件x+y=3下的极值。 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.B 2.A 3.B解析： 4.Dy=ex+e-x，则y'=ex-e-x，当x＞0时，y'＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增. 5.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系． 由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限． 6.A 本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序． 由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为： 0≤x≤1， 0≤y≤1-x， 其图形如图1-1所示． 交换积分次序，D可以表示为 0≤y≤1， 0≤x≤1-y， 因此 可知应选A． 7.B 8.C解析： 9.B 由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B． 10.A 本题考查的知识点为无穷级数的收敛性． 由于收敛，可知所给级数绝对收敛． 11.D 12.B为初等函数，且点x=0在的定义区间内，因此，故选B． 13.A 14.C 本题考查的知识点有两个：连续性与极限的关系；连续性与可导的关系． 连续性的定义包含三个要素：若f(x)在点x0处连续，则 (1)f(x)在点x0处必定有定义； (2)必定存在； (3) 由此可知所给命题C正确，A，B不正确． 注意连续性与可导的关系：可导必定连续；连续不一定可导，可知命题D不正确．故知，应选C． 本题常见的错误是选D．这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系． 若f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必定连续． 但是其逆命题不成立． 15.C 16.A 17.C 18.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。 19.C 20.A 21.y＝C． 本题考查的知识点为微分方程通解的概念． 微分方程为y＝0． dy＝0．y＝C． 22.v=ex+C 23. 24. 本题考查的知识点为求二元函数的全微分． 通常求二元函数的全微分的思路为： 先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知 由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得 当X2+y≠0时，为连续函数，因此有 25.33 解析： 26.11 解析： 27. 28.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。 29.由原函数的概念可知 30. 31.1 32.本题考查的知识点为不定积分的换元积分法。 33. 本题考查了交换积分次序的知识点。 34. 35.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1) 36. 本题考查的知识点为定积分的换元法． 解法1 解法2 令t＝1＋x2，则 dt＝2xdx． 当x＝1时，t＝2；当x＝2时，t＝5． 这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化． 37. 38. 39.  40. 41. 函数的定义域为 注意 42. 列表： 说明 43.由等价无穷小量的定义可知 44. 45.由二重积分物理意义知 46.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 56. 57. 由一阶线性微分方程通解公式有 58. 则 59.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 60. 61. 62. 本题考查的知识点为定积分的换元积分法． 比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化． 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.z=x2+y2+1在条件x+y=3下的极值设F=x2+y2+1+λ(x+y一3)；Fx"=2x+λ=0；Fy"=2y+λ=0；Fλ"=x+y一3=0；x=1．5；y=1．5由实际问题有最小值∴极小值z｜(2.51.5)=5．5z=x2+y2+1在条件x+y=3下的极值设F=x2+y2+1+λ(x+y一3)；Fx"=2x+λ=0；Fy"=2y+λ=0；Fλ"=x+y一3=0；x=1．5；y=1．5由实际问题有最小值∴极小值z｜(2.5,1.5)=5．5 72. 解