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陕西省西安市华山中学2022年高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在所有的两位数10~99(包括10与99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 在经济学中,函数的边际函数定义为。某公司每月最多生产台报警系统装置,生产台的收入函数为(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差。⑴求利润函数及边际利润函数;⑵利润函数与边际利润函数是否具有相等的最大值?⑶你认为本题中边际利润函数取最大值的实际意义是什么? Ks5u
参考答案:
解(1)由题意知:
利润函数
, ……………1分
其定义域为,且; ……………2分
边际利润函数
, ……………3分
其定义域为,且. ……………4分
(2),
∴当或时,的最大值为元. ……………6分
∵是减函数,
∴当时,的最大值为元.
∴利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.……7分
(3)边际利润函数当时有最大值,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大,边际利润函数是减函数,说明随着产量的增加,每一台利润与前一台利润相比在减少。 …………8分
3. 设集合A={x|x>a},集合B={x|x2﹣2x﹣15<0},若B∩(?RA)≠?,则实数a的取值范围是( )
A.a≤﹣3 B.a>﹣3 C.﹣3<a<5 D.a≥5
参考答案:
B
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【专题】计算题;探究型.
【分析】先化简集合B,然后利用B∩(?RA)≠?,求实数a的取值范围.
【解答】解:集合B={x|x2﹣2x﹣15<0}={x|﹣3<x<5},
∴?UA═{x|x≤a},
要使B∩(?RA)≠?,
则a>﹣3.
故选B.
【点评】本题主要考查集合关系的应用,比较基础.
4. 已知数列{an}是等比数列,其中是函数的两个零点,则 ( )
A.4 B.2 C.-4 D.-2
参考答案:
B
5. 如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点, =x+y,且=3,则( )
A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y=
参考答案:
D
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【专题】平面向量及应用.
【分析】由=3,利用向量三角形法则可得,化为,又=x+y,利用平面向量基本定理即可得出.
【解答】解:∵=3,
∴,
化为,
又=x+y,
∴,y=.
故选:D.
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6. 不等式的解集是:
A. (-1,0) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C. (0,1) D. (-∞,0)∪(1,+∞)
参考答案:
C
【分析】
把不等式转化为不等式,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,不等式,等价于,解得,
即不等式的解集为(0,1),故选C.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解,其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
7. 下列四个函数中,图象可能是如图的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
函数的图形为:
,
函数的图像为:
,
函数的图像为:
,
函数的图像为:
,
将选项与题中所给的图像逐个对照,得出D项满足条件,
故选D.
8. 函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
试题分析:因为函数在上单调递增函数,所以,即,对恒成立,从而,即,即,解得 ,故选择A.
考点:二次函数与正切函数性质综合.
9. 已知函数在()上单调递减,那么实数a的取值范围是 ( )
A、(0,1) B、(0,)
C、 D、
参考答案:
C
10. .某船在小岛A的南偏东75°,相距20千米的B处,该船沿东北方向行驶20千米到达C处,则此时该船与小岛A之间的距离为( )
A. 千米 B. 千米
C. 20千米 D. 千米
参考答案:
D
【分析】
结合题意运用余弦定理求出结果.
【详解】由题意可得,在中,,,则.故选
【点睛】本题考查了运用余弦定理求解实际问题,首先要读懂题目意思,将其转化为解三角形问题,然后运用公式求解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为实常数,是定义在R上的奇函数,当,,若对一切成立,则的取值范围为 .
参考答案:
12. 若函数上是增函数,则实数的取值范围是_____.
参考答案:
13. 函数的图象与函数的图象关于直线 对称。
参考答案:
14. 已知(),的值为
参考答案:
3
15. 若f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,,若方程f(x)=kx恰有3个不同的根,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,﹣)∪(,]
【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用.
【分析】利用周期与对称性得出f(x)的函数图象,根据交点个数列出不等式得出k的范围.
【解答】解:∵当x>2时,f(x)=f(x﹣1),
∴f(x)在(1,+∞)上是周期为1的函数,
作出y=f(x)的函数图象如下:
∵方程f(x)=kx恰有3个不同的根,
∴y=f(x)与y=kx有三个交点,
若k>0,则,解得<k≤,
若k<0,由对称性可知﹣≤k<﹣.
故答案为:[﹣,﹣)∪(,].
16. 记min{a,b,c}为实数a,b,c中最小的一个,已知函数f(x)=﹣x+1图象上的点(x1,x2+x3)满足:对一切实数t,不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立,如果min{﹣x1,﹣x2,﹣x3}=﹣x1,那么x1的取值范围是 .
参考答案:
【考点】不等式比较大小.
【专题】转化思想;判别式法;不等式.
【分析】函数f(x)=﹣x+1图象上的点(x1,x2+x3),可得x2+x3=﹣x1+1.由于min{﹣x1,﹣x2,﹣x3}=﹣x1,可得﹣x2>﹣x1,﹣x3≥﹣x1,可得x1.对一切实数t,不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立,可得△≤0,化为:≤0,解出即可得出.
【解答】解:函数f(x)=﹣x+1图象上的点(x1,x2+x3),∴x2+x3=﹣x1+1.
∵min{﹣x1,﹣x2,﹣x3}=﹣x1,∴﹣x2>﹣x1,﹣x3≥﹣x1,∴x2≤x1,x3≤x1,∴﹣x1+1≤2x1,解得x1.
对一切实数t,不等式﹣t2﹣t﹣2+4≤0均成立,
∴△=+4(4﹣2)≤0,
化为:≤0,
∴≤﹣,或≥﹣,
∵x2+x3=﹣x1+1,
∴2()≥=,
∴≤﹣≤3﹣,及x1,解得≤x1≤.
或≥﹣,则++﹣3≥+﹣3≥0,及x1,解得.
综上可得:x1的取值范围是.
故答案为:.
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
17. 设函数,,,则方程有 个实数根.
参考答案:
2n+1
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】分别n=1,2,3,再归纳法即可求出答案.
【解答】解:当n=1时,f1(x)=|()|x|﹣|=,即当﹣1≤x≤1时,()|x|=,或x<﹣1或x>1时,()|x|=,此时方程有22个解,
当n=2时,f2(x)=|f1(x)﹣|=,即f1(x)=,f1(x)=,此时方程有23个解,
当n=3时,f3(x)=|f2(x)﹣|=,即f2(x)=,f2(x)=,此时方程有24个解,
依此类推,方程有2n+1个解.
故答案为:2n+1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)已知角x的终边经过点P(﹣1,3)
(1)求sinx+cosx的值
(2)求的值.
参考答案:
考点: 同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义.
专题: 三角函数的求值.
分析: (1)由角x的终边经过点P,利用任意角的三角函数定义求出sinx与cosx的值,即可求出sinx+cosx的值;
(2)原式利用诱导公式化简,整理后把tanx的值代入计算即可求出值.
解答: 解:(1)由点P(﹣1,3)在角x的终边上,得sinx=,cosx=﹣,
∴sinx+cosx=;
(2)∵sinx=,cosx=﹣,
∴tanx=﹣3,
则原式==﹣tanx=3.
点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及任意角的三角函数定义,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
19. (12分)若函数f(x)对于定义域内的任意x都满足,则称f(x)具有性质M.
(1)很明显,函数(x∈(0,+∞)具有性质M;请证明(x∈(0,+∞)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(2)已知函数g(x)=|lnx|,点A(1,0),直线y=t(t>0)与g(x)的图象相交于B、C两点(B在左边),验证函数g(x)具有性质M并证明|AB|<|AC|.
(3)已知函数,是否存在正数m,n,k,当h(x)的定义域为[m,n]时,其值域为[km,kn],若存在,求k的范围,若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】(1)根据函数单调性的定义进行证明即可,
(2)根据函数的性质利用作差法进行判断即可,
(3)根据 函数定义域和值域的关系建立方程,进行求解即可.
【解答】解:(1)∵f()=+=x+=f(x),∴函数f(x)具有性质M.
任取x1、x2且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=(x1+)﹣(x2+)=(x1﹣x2)+(﹣)=(x1﹣x2)?,
若x1、x2∈(0,1),
则0<x1x2<1,x1x2>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
若x1、x2∈(1,+∞),
则x1x2>1,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(2)∵,∴g(x)具有性质M (4分)
由|lnx|=t得,lnx=﹣t或lnx=t,x=e﹣t或x=et,
∵t>0,∴e﹣t<et,
∴,
∴,∴,
∴|AB|2﹣|AC|2=(1﹣e﹣t)2﹣(1﹣et)2=[2﹣(e﹣t+et)](et﹣e﹣t)
由(1)知,在x∈(0,+∞)上的最小值为1(其中x=1时)
而,故2﹣(e﹣t+et)<0,et﹣e﹣t>0,
|AB|<|AC|(7分)
(3)∵h(1)=0,m,n,k
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