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陕西省咸阳市吴堡中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=cosxtanx的值域是( )
A.(﹣1,0)∪(0,1) B.[﹣1,1] C.(﹣1,1) D.[﹣1,0)∪(0,1]
参考答案:
C
【考点】正弦函数的定义域和值域.
【分析】先确定函数函数y=cosxtanx的定义域,再由正弦函数的值域从而可确定答案.
【解答】解:∵x≠时,y=cosxtanx=sinx
∴y=sinx∈(﹣1,1)
函数y=cosxtanx的值域是(﹣1,1)
故选C.
2. 设函数,若,则实数a的值是
A、 B、-1 C、 D、-1或
参考答案:
D
3. 设f(x)=lgx+x﹣3,用二分法求方程lgx+x﹣3=0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,则方程的根落在区间( )
A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3)
参考答案:
C
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】由已知“方程lgx+x﹣3=0在x∈(2,3)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定,由f(2.25)<0,f(2.75)>0,f(2.5)<0,f(3)>0,即可求得结果.
【解答】解析:∵f(2.5)?f(2.75)<0,
由零点存在定理,得,
∴方程的根落在区间(2.5,2.75).
故选C.
【点评】二分法是求方程根的一种算法,其理论依据是零点存在定理:
一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,
且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
4. 如果一个函数满足:
(1)定义域为;
(2)任意,若,则;
(3)任意,若,总有.则可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=﹣1,对任意x∈R,有f(x)=﹣f(2﹣x)成立,则f
A.1 B.﹣1 C.0 D.2
参考答案:
A
【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质.
【分析】确定f(x)是以4为周期的函数,结f(2)=﹣1,即可求得f是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,有f(x)=﹣f(2﹣x)成立,
∴f(x+4)=﹣f(2﹣x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∴f=f(0)=﹣f(2﹣0)=﹣f(2)=1,
故选:A
6. 已知sin(200+α)=,则cos(1100+α)=( ).
A.- B. C. D.-
参考答案:
A
7. 已知函数,则函数( )
A.是奇函数,且在上是减函数
B.是偶函数,且在上是减函数
C.是奇函数,且在上是增函数
D.是偶函数,且在上是增函数
参考答案:
C
因为,又因为f(x)在上是增函数,所以f(x) 是奇函数,且在上是增函数
8. 不等式 的解集是为
A. B. C.(-2,1) D.∪
参考答案:
C
略
9. 已知向量,,若向量,则m=( )
A. -6 B. 6 C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据平面向量垂直的性质,结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因,所以.
故选:B
【点睛】本题考查平面向量垂直的性质,考查了平面向量数量积的坐标表示公式,考查了数学运算能力.
10. 下列函数中,在区间上是增函数的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
中,,底数大于小于,为减函数;故错误;
中,,在区间上是减函数;故错误;
中,,底数大于,在上是增函数,故正确;
中,,的系数小于,在区间上减函数,故错误.
综上所述,故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数为增函数的区间是 .
参考答案:
略
12. 将边长为1正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四个结论:
(1)AC⊥BD;
(2)△ACD是等腰直角三角形;
(3)四面体A﹣BCD的表面积为1+;
(4)直线AC与平面BCD所成角为60°.
则正确结论的序号为 .
参考答案:
(1)(3)
【考点】二面角的平面角及求法.
【分析】作出此直二面角的图形,由图形中所给的位置关系,对题目中的命题进行判断,即可得出正确的结论
【解答】解:根据题意,画出图形,如图所示:
二面角A﹣BD﹣C为90°,E是BD的中点,可以得出∠AEC=90°,为直二面角的平面角;
对于(1),由于BD⊥面AEC,得出AC⊥BD,故命题(1)正确;
对于(2),在等腰直角三角形AEC中,可以求出AC=AE=AD=CD,
所以△ACD是等边三角形,故命题(2)错误;
对于(3),四面体ABCD的表面积为
S=2S△ACD+2S△ABD=2××12×sin60°+2××1×1=1+,
故命题(3)正确;
对于(4),AC与平面BCD所成的线面角是∠ACE=45°,故(4)错误.
故答案为:(1)(3).
【点评】本题考查了与二面角有关的线线之间、线面之间角的求法问题,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
13. 已知f(x)=g(x)+2,且g(x)为奇函数,若f(2)=3,则f(-2)= 。
参考答案:
1
14. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB1与 CC1所成的角为 ,异面直线AB1与CD1所成的角为 ,异面直线AB1与A1D所成的角为 。
参考答案:
15. 等差数列{an}中,公差.则与的等差中项是_____(用数字作答)
参考答案:
5
【分析】
根据等差中项的性质,以及的值,求出的值即是所求.
【详解】根据等差中项的性质可知,的等差中项是,故.
【点睛】本小题主要考查等差中项的性质,考查等差数列基本量的计算,属于基础题.
16. 已知是等差数列{}的前项和,若则的最大值是
参考答案:
9
略
17. 化简 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 记数列的前项和为,满足(),其中为常数。
(1)已知,求证数列是等比数列;
(2)已知数列是等差数列,求证:;
(3)已知且,,若对恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
(1)由,得(),①
②
②①得: ,又,所以数列是等比数列;
(2)由数列是等差数列,可令公差为,则。
所以对恒成立,
所以有,所以有:。
(3)由,()得
所以有 ① ②
②①得:,;
又,所以。所以数列是等比数列,,
,
(1)当时,,的值随着的增大而减小,所以,对任意,的最大值在时取得,即。因为对恒成立,所以 。
(2)当时,,所以,
,因为,所以。
假设,且,得
即,这表明当取大于等于的正整数时,不成立,矛盾,所以。
综上所述:当时, ;当时, 。
19. (本题满分12分) 已知集合,集合.
(1)求;(2)求CR.
参考答案:
略
20. 函数在它的某一个周期内的单调减区间是.
(1)求的解析式;
(2)将的图象先向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为,求函数在上的最大值和最小值.
参考答案:
解:(1)由条件,, ∴ ∴ 2分
又∴ 4分
∴的解析式为 6分
(2)将的图象先向右平移个单位,得 8分
∴ 10分
而 12分
∴函数在上的最大值为1,最小值为 15分
21. 已知函数f(x)=sin2x+asinx+3﹣a,x∈[0,π].
(1)求f(x)的最小值g(a);
(2)若f(x)在[0,π]上有零点,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】三角函数的化简求值;函数零点的判定定理.
【分析】(1)利用三角函数的值域,二次函数的性质,分类讨论,求得f(x)的最小值g(a).
(2)由题意可得sinx≠1,a=,令t=sinx∈[0,1),则a=,显然函数a在t∈[0,1)上单调递增,由此可得a的范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin2x+asinx+3﹣a=﹣+3﹣a,
∵x∈[0,π],∴sinx∈[0,1],
当﹣<0时,即a>0时,则sinx=0时,f(x)取得最小值g(a)=3﹣a;
当0≤﹣≤1时,即﹣2≤a≤0时,则sinx=﹣时,f(x)取得最小值g(a)=﹣+3﹣a;
当﹣>1时,即a<﹣2时,则sinx=1时,f(x)取得最小值g(a)=4.
综上可得,g(a)=.
(2)∵x∈[0,π],∴sinx∈[0,1],由f(x)=0,可得sin2x+3=(1﹣sinx)?a,
当sinx=1时,此等式不成立.
故有sinx≠1,a=,
令t=sinx∈[0,1),则a=,显然函数a在t∈[0,1)上单调递增,
故当t=0时,a=3;当t趋于1时,a趋于正无穷大,故a≥3.
22. 某学校高一年学生在某次数学单元测试中,成绩在的频数分布表如下:
分数
频数
60
20
20
(Ⅰ)用分层抽样的方法从成绩在,和的同学中共抽取人,其中成绩在的有几人?
(Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的人中,任取人,求成绩在和中各有人的概率?
参考答案:
解:(Ⅰ)根据频数分布表,成绩在,,中共有人,
成绩在的有人, …………2分
故用分层抽样的方法抽取成绩在的人数为. …………4分
(Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的人中,成绩在的有名同学,记为,
成绩在和的各有1名同学,分别记为
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