辽宁省鞍山市腾鳌中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省鞍山市腾鳌中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 己知向量a=(2,1), b=(-3,4)，则a-b=（   ） （A）（5，）   （B）（1，）      （C）（5，3）     （D）（，3） 参考答案： A 2. 如图，是的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有（    ）                                            A.个       B.个       C.个        D.个 参考答案： A 略 3. 等差数列{an}满足，则其前10项之和为（　　） A. －9 B. －15 C. 15 D. 参考答案： D 由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3. 所以S10＝×10＝±15. 故选D. 4. 若，则的值为(    ) A．           B．              C．          D．－2 参考答案： A 略 5. 已知函数，则的值为(    ) A．1        B．2         C．3   D．4 参考答案： D 略 6. 已知集合A={x|x2-3|x|+2=0}，集合B满足A∪B={-2，-l，1，2），则满足条件的集合B的个数为    (    )   A.4    B．8    C．16    D．32 参考答案： C 7. 函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为                       （     ） （A）     （B） （C）       （D） 参考答案： A 略 8. （3分）函数f（x）=（） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． 是非奇非偶函数 D． 既是奇函数，又是偶函数 参考答案： A 考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 求解定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，运用解析式得出f（﹣x）=﹣f（x）判断即可． 解答： ∵函数f（x）=， ∴定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称， ∵f（﹣x）==﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数， 故选：A． 点评： 本题考查了奇函数的定义，运用定义判断，属于容易题，难度不大，容易忽视定义域的判断． 9. 在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是           （    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： D 10. 若，且，则与的夹角是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据可得到，进而求出，从而可求出的值，从而得出与的夹角． 【解答】解：； ∴ = = =0； ∴； ∴； 又； ∴的夹角为． 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数y=f（x）的图像过（2，），则此幂函数的解析式为            参考答案： 略 12. 二次函数()是偶函数,则b=___________ . 参考答案： 0 略 13. 已知角的终边上一点，则         ． 参考答案： 14. 函数f（x）=的零点个数是　   　． 参考答案： 2 【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用． 【分析】利用分段函数分别求解函数的零点，推出结果即可． 【解答】解：当x＞0时，log2（x+1）=0，解得x+1=1，x=0舍去． 当x≤0时，﹣x2﹣2x=0，解得x=﹣2或x=0， 函数f（x）=的零点个数是2个． 故答案为：2． 【点评】本题考查函数的零点个数的求法，函数与方程根的关系，考查计算能力． 15. 已知函数，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是          ． 参考答案： (－∞,0)∪(0,1) 当a=0时，f（x）=此时对任意x≤0，都是方程f（f（x））=0的实数根， 故不成立； 当a＜0时，函数f(x)＝的图象如下， 由f（f（x））=0得，f（x）=1； f（x）=1有且只有一个解， 故成立； 当a＞0时，函数f(x)＝的图象如下， 根据函数的图象可判断f（x）的零点为：1． 由f（f（x））=0得，f（x）=1； 若使f（x）=1有且只有一个实数解， 根据图象可判断：0＜a＜1， 故答案为（-∞，0）∪（0，1）．   16. 已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=　　． 参考答案： ﹣ 考点： 二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．  专题： 计算题． 分析： 利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α． 解答： 解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα== ∴tan2α==﹣ 故答案为：﹣ 点评： 本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题． 17. 已知f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增，则a范围是　　． 参考答案： a＞2 考点： 指数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由指数函数的单调性知a﹣1＞，解得即可． 解答： 解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增， 所以a﹣1＞1， 解得a＞2． 故答案为：a＞2． 点评： 本题主要考查指数函数的单调性． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，. （I）若，求△ABC的面积； （II）若，求sinB的值。 参考答案： （I）；（Ⅱ） 【分析】 （I）由，结合三角形面积公式与题中数据，即可求出结果； （II）根据题中数据，在中，结合余弦定理，可求出，在中，根据正弦定理，即可求出结果. 【详解】（I）当时， 的面积， 的面积， 的面积； （Ⅱ）当时，， 在中，由余弦定理可得 ， 故 ， 在中，由正弦定理得 ，即， 整理得   19. 的周长为，且．   （Ⅰ） 求边的长； （Ⅱ） 若的面积为，求角的度数． 参考答案： （Ⅰ）由题意及正弦定理，得，            ，两式相减，得．      （Ⅱ）由的面积，得，            由余弦定理，得，     所以 20. 如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的棱形，M为PC的中点. （1）求证：PC⊥AD； （2）求. 参考答案： 解：（1）取中点连接， 依题意可知均为正三角形， 又平面平面 平面 又平面 （2）由（1）可知，又平面平面 平面平面平面 平面 即为三棱锥的高 又是边长为的正三角形， 由 又 又为的中点 . 21. （本题满分12分)在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便) 参考答案： 解：设缉私艇追上走私船需t小时          则BD=10 t n mile  CD=t n mile       ∵∠BAC=45°+75°=120°       ∴在△ABC中，由余弦定理得        　　　即　 　　　由正弦定理得 　　　 ∴　∠ABC=45°， ∴BC为东西走向 ∴∠CBD=120° 　　　在△BCD中，由正弦定理得 ∴　∠BCD=30°，∴　∠BDC=30° ∴ 即　 ∴　　（小时） 答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时。   22. 设集合 （1）若，求实数的值 （2）若，求实数的取值范围 参考答案： 解：（1）有题可知：            ∵  ∴            将2带入集合B中得：            解得：            当时，集合符合题意；            当时，集合，符合题意        综上所述： （2）