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辽宁省鞍山市腾鳌中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 己知向量a=(2,1), b=(-3,4),则a-b=( )
(A)(5,) (B)(1,) (C)(5,3) (D)(,3)
参考答案:
A
2. 如图,是的直径,是圆周上不同于的任意一点,平面,则四面体的四个面中,直角三角形的个数有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
A
略
3. 等差数列{an}满足,则其前10项之和为( )
A. -9 B. -15 C. 15 D.
参考答案:
D
由已知(a4+a7)2=9,所以a4+a7=±3,从而a1+a10=±3.
所以S10=×10=±15.
故选D.
4. 若,则的值为( )
A. B. C. D.-2
参考答案:
A
略
5. 已知函数,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
略
6. 已知集合A={x|x2-3|x|+2=0},集合B满足A∪B={-2,-l,1,2),则满足条件的集合B的个数为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
参考答案:
C
7. 函数在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
略
8. (3分)函数f(x)=()
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是非奇非偶函数 D. 既是奇函数,又是偶函数
参考答案:
A
考点: 函数奇偶性的判断.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 求解定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,运用解析式得出f(﹣x)=﹣f(x)判断即可.
解答: ∵函数f(x)=,
∴定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,
∵f(﹣x)==﹣f(x),
∴f(x)为奇函数,
故选:A.
点评: 本题考查了奇函数的定义,运用定义判断,属于容易题,难度不大,容易忽视定义域的判断.
9. 在约束条件下,当时,目标函数的最大值的变化范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 若,且,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据可得到,进而求出,从而可求出的值,从而得出与的夹角.
【解答】解:;
∴
=
=
=0;
∴;
∴;
又;
∴的夹角为.
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数y=f(x)的图像过(2,),则此幂函数的解析式为
参考答案:
略
12. 二次函数()是偶函数,则b=___________ .
参考答案:
0
略
13. 已知角的终边上一点,则 .
参考答案:
14. 函数f(x)=的零点个数是 .
参考答案:
2
【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用.
【分析】利用分段函数分别求解函数的零点,推出结果即可.
【解答】解:当x>0时,log2(x+1)=0,解得x+1=1,x=0舍去.
当x≤0时,﹣x2﹣2x=0,解得x=﹣2或x=0,
函数f(x)=的零点个数是2个.
故答案为:2.
【点评】本题考查函数的零点个数的求法,函数与方程根的关系,考查计算能力.
15. 已知函数,其中e为自然对数的底数,若关于x的方程有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(-∞,0)∪(0,1)
当a=0时,f(x)=此时对任意x≤0,都是方程f(f(x))=0的实数根,
故不成立;
当a<0时,函数f(x)=的图象如下,
由f(f(x))=0得,f(x)=1;
f(x)=1有且只有一个解,
故成立;
当a>0时,函数f(x)=的图象如下,
根据函数的图象可判断f(x)的零点为:1.
由f(f(x))=0得,f(x)=1;
若使f(x)=1有且只有一个实数解,
根据图象可判断:0<a<1,
故答案为(-∞,0)∪(0,1).
16. 已知α∈(,π),sinα=,则tan2α= .
参考答案:
﹣
考点: 二倍角的正切;同角三角函数间的基本关系.
专题: 计算题.
分析: 利用题目提供的α的范围和正弦值,可求得余弦值从而求得正切值,然后利用二倍角的正切求得tan2α.
解答: 解:由α∈(,π),sinα=,得cosα=﹣,tanα==
∴tan2α==﹣
故答案为:﹣
点评: 本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系,是个基础题.
17. 已知f(x)=(a﹣1)x在R上单调递增,则a范围是 .
参考答案:
a>2
考点: 指数函数的图像与性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由指数函数的单调性知a﹣1>,解得即可.
解答: 解:因为指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上单调递增,
所以a﹣1>1,
解得a>2.
故答案为:a>2.
点评: 本题主要考查指数函数的单调性.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在△ABC中,点D在BC边上,.
(I)若,求△ABC的面积;
(II)若,求sinB的值。
参考答案:
(I);(Ⅱ)
【分析】
(I)由,结合三角形面积公式与题中数据,即可求出结果;
(II)根据题中数据,在中,结合余弦定理,可求出,在中,根据正弦定理,即可求出结果.
【详解】(I)当时,
的面积,
的面积,
的面积;
(Ⅱ)当时,,
在中,由余弦定理可得
,
故 ,
在中,由正弦定理得 ,即,
整理得
19. 的周长为,且.
(Ⅰ) 求边的长;
(Ⅱ) 若的面积为,求角的度数.
参考答案:
(Ⅰ)由题意及正弦定理,得,
,两式相减,得.
(Ⅱ)由的面积,得,
由余弦定理,得,
所以
20. 如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的棱形,M为PC的中点.
(1)求证:PC⊥AD;
(2)求.
参考答案:
解:(1)取中点连接,
依题意可知均为正三角形,
又平面平面
平面
又平面
(2)由(1)可知,又平面平面
平面平面平面
平面
即为三棱锥的高
又是边长为的正三角形,
由
又
又为的中点
.
21. (本题满分12分)在海岸A处,发现北偏东方向,距离A为 n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西方向,距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)
参考答案:
解:设缉私艇追上走私船需t小时
则BD=10 t n mile CD=t n mile
∵∠BAC=45°+75°=120°
∴在△ABC中,由余弦定理得
即
由正弦定理得
∴ ∠ABC=45°,
∴BC为东西走向
∴∠CBD=120°
在△BCD中,由正弦定理得
∴ ∠BCD=30°,∴ ∠BDC=30°
∴
即
∴ (小时)
答:缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船,这需小时。
22. 设集合
(1)若,求实数的值
(2)若,求实数的取值范围
参考答案:
解:(1)有题可知:
∵ ∴
将2带入集合B中得:
解得:
当时,集合符合题意;
当时,集合,符合题意
综上所述:
(2)
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