2021-2022学年内蒙古自治区兴安盟普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析)

2021-2022学年内蒙古自治区兴安盟普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.（　　）。 A. B. C. D. 2.设f(x)为连续函数，则等于( ) A.A. B. C. D. 3.设un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收敛，则( ) A.必定收敛 B.必定发散 C.收敛性与a有关 D.上述三个结论都不正确 4.设函数y=ex-2,则dy=( ) A.e^(x-3)dx B.e^(x-2)dx C.e^(x-1)dx D.e^xdx 5.设f(x)在点x0处连续，则下列命题中正确的是（　　）． A.A.f(x)在点x0必定可导 B.f(x)在点x0必定不可导 C. D. 6.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为 A.(-∞，1] B.[1，2] C.[2，+∞) D.[1，+∞) 7.  8.设二元函数z=xy，则点P0(0，0) A.为z的驻点，但不为极值点 B.为z的驻点，且为极大值点 C.为z的驻点，且为极小值点 D.不为z的驻点，也不为极值点 9. A.A. B. C. D. 10.  A.2 B.1 C.1/2 D.0 11. 12.  13.A.0 B.1 C.2 D.任意值 14.  15. A. B. C. D. 16.微分方程y'+y=0的通解为y= A.e-x+C B.-e-x+C C.Ce-x D.Cex 17.  18.设y=e-2x，则y'于( )． A.A.2e-2x B.e-2x C.-2e-2x D.-2e2x 19.  20.。 A.2 B.1 C.-1/2 D.0 二、填空题(20题) 21. 22.曲线y =x3－3x2－x的拐点坐标为____。 23.设y=ex/x，则dy=________。 24. 25.极限=________。 26.  27. 28. 29.  30. 31.设区域D为y=x2，x=y2围成的在第一象限内的区域，则=______． 32.  33. 34. 35.  36. 37.  38.  39. 40. 三、计算题(20题) 41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 42. 43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 44. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 45. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 46. 47. 48.  49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 51. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 52.  53.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 54.  55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 56. 求微分方程的通解． 57. 58.证明： 59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 60. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 四、解答题(10题) 61. 62.  63.  64. 65. 66.  67. 68.求由曲线y=2x-x2，y=x所围成的平面图形的面积S．并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx． 69.  70.  五、高等数学(0题) 71.讨论y=xe-x的增减性，凹凸性，极值，拐点。 六、解答题(0题) 72. 求由曲线y=cos、x=0及y=0所围第一象限部分图形的面积A及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx。 参考答案 1.C 2.D 本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式． 可知应选D． 3.D 由正项级数的比较判定法知，若un≤υn，则当收敛时，也收敛；若也发散，但题设未交待un与υn的正负性，由此可分析此题选D。 4.B 5.C 本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系． 这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选C． 6.B f(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞，+∞) f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。 令f'(x)=0得驻点x1=1，x2=2。 当x＜1时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。 当1＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调减少。 当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调增加。因此知应选B。 7.C解析： 8.A 9.A 10.D 本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质． 11.A 12.A解析： 13.B 14.D解析： 15.D 本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。 因此选D。 16.C 17.D解析： 18.C 本题考查的知识点为复合函数求导． 可知应选C． 19.D 20.A 21.  22.（1，-1） 23. 24. 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。 25.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知 26.0＜k≤1 27. 本题考查的知识点为连续性与极限的关系，左极限、右极限与极限的关系． 28.π/4 本题考查了定积分的知识点。 29. 30. 31.1/3 ；本题考查的知识点为二重积分的计算． 32.1/61/6 解析： 33. 本题考查的知识点为不定积分的凑微分法． 34. 35.(-∞2) 36. 37.dx 38. 解析： 39. 40.（-21） （-2，1） 41. 42. 43.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 44. 45. 46. 47. 48. 49. 列表： 说明 50.由二重积分物理意义知 51.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 52. 则 53.由等价无穷小量的定义可知 54. 由一阶线性微分方程通解公式有 55. 56. 57. 58. 59.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 60. 函数的定义域为 注意 61. 62. 63. 64. 65.利用洛必达法则 原式，接下去有两种解法： 解法1 利用等价无穷小代换．  解法2 利用洛必达法则．  本题考查的知识点为两个：“”型极限和可变上限积分的求导． 对于可变上(下)限积分形式的极限，如果为“”型或“”型，通常利用洛必达法则求解，将其转化为不含可变上(下)限积分形式的极限． 66. 67. 68.所给平面图形如图4-1中阴影部分所示．  由，可解得 因此  ： 本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．这是常见的考试题型，考生应该熟练掌握． 69. 70. 71.∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2 ①∵x<1时y">0； ∴x>1时y"<0； ∴y在(一∞1)内递增；y在(1+∞)内递减；极大值e-1； ②∵x<2时y""<0； ∴x>2时y"">0； ∴y在(一∞2)内凸；y在(1+∞)内凹；拐点为(22e-2)∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0；x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0；x=2 ①∵x<1时,y">0； ∴x>1时,y"<0； ∴y在(一∞,1)内递增；y在(1,+∞)内递减；极大值e-1； ②∵x<2时,y""<0； ∴x>2时,y"">0； ∴y在(一∞,2)内凸；y在(1,+∞)内凹；拐点为(2,2e-2) 72.