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湖南省株洲市凤凰高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知下列命题中:
(1)若,且,则或,
(2)若,则或
(3)若不平行的两个非零向量,满足,则
(4)若与平行,则其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:(1)是对的;(2)仅得;(3)
(4)平行时分和两种,
2. 已知过点的直线与直线平行,则的值为:
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
4. 函数的部分
图象如图所示,则函数表达式为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
5. 用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=1时V2的值为( )
A.3 B.4 C.7 D.12
参考答案:
D
【考点】EL:秦九韶算法.
【分析】由于函数f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1,当x=1时,分别算出v0=3,v1=3×1+4=7,v2=7×1+5=12即可得出.
【解答】解:函数f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1,
当x=1时,分别算出v0=3,
v1=3×1+4=7,
v2=7×1+5=12
故选:D.
6. 无穷等差数列的各项均为整数,首项为、公差为,是其前项和,3、21、15是其中的三项,给出下列命题:
①对任意满足条件的,存在,使得99一定是数列中的一项;
②对任意满足条件的,存在,使得30一定是数列中的一项;
③存在满足条件的数列,使得对任意的,成立。其中正确命题的序号为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
参考答案:
C
略
7. 函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 把函数y=sin(2x﹣)的图象向右平移个单位得到的函数解析式为( )
A. y=sin(2x﹣) B. y=sin(2x+) C. y=cos2x D. y=﹣sin2x
参考答案:
D
试题分析:三角函数的平移原则为左加右减上加下减.直接求出平移后的函数解析式即可.
解:把函数y=sin(2x﹣)的图象向右平移个单位,
所得到的图象的函数解析式为:y=sin[2(x﹣)﹣]=sin(2x﹣π)=﹣sin2x.
故选D.
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
9. 已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩(Venn)图是 ( )
参考答案:
B
10. 函数的部分图象如图所示,则 ( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若在区间上的最大值是,则=________。
参考答案:
解析:
12. 已知向量=(sinx,cosx),向量=(1,),则|+|的最大值为___ ▲ .
参考答案:
略
13. 设全集U={l,3,5,7,9},集合M={1,a﹣5},M?U且?UM={3,5,7},则实数a= .
参考答案:
14
【考点】补集及其运算.
【分析】根据补集的定义,求出集合M,再计算a的值.
【解答】解:由U={1,3,5,7,9},且CUM={3,5,7},
所以M={1,9};
又M={1,a﹣5},所以a﹣5=9,
解得a=14.
故答案为:14.
14. 若f(x)=+a是奇函数,则a=________.
参考答案:
略
15. 若函数的反函数图像过点,则=____________.
参考答案:
16. 设为定义在R上的奇函数,当时,则 。
参考答案:
略
17. 已知tanα=﹣2,tan(α﹣β)=3,则tanβ= .
参考答案:
1
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简,将tanα的值代入即可求出tanβ的值.
【解答】解:∵tan(α﹣β)==3,tanα=﹣2,
∴=3,
解得:tanβ=1.
故答案为:1.
【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知△ABC的内角满足,若,且满足:,,为的夹角.求。
参考答案:
解析:
得,
19. 若在定义域内存在实数x满足f(﹣x)=f(x),则称函数f(x)为“局部偶函数”.
(Ⅰ)判断函数f(x)=x﹣是否为“局部偶函数”,并说明理由;
(Ⅱ)若F(x)=为“局部偶函数”,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质.
【分析】(Ⅰ)若函数f(x)=x﹣是“局部偶函数”,则f(﹣x)=f(x)有解,﹣x+=x﹣,求出x即可;
(Ⅱ)若F(x)=为“局部偶函数”,分类讨论,即可求实数k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)若函数f(x)=x﹣是“局部偶函数”,则f(﹣x)=f(x)有解,
∴﹣x+=x﹣,
∴=x,∴x=±1;
(Ⅱ)若F(x)=为“局部偶函数”,
则x>0,k?3﹣x﹣9﹣x=9x﹣k?3x+k2﹣16,
令t=3x+3﹣x(t>2),则t2﹣kt+k2﹣18=0有大于2的解,∴>2,∴k>1﹣;
x<0,k?3x﹣9x=9﹣x﹣k?3﹣x+k2﹣16,
令t=3x+3﹣x(0<t<2),则t2﹣kt+k2﹣18=0有大于0,小于2的解,
∴或,∴3<k<1+,
综上所述,k>1﹣或3<k<1+.
20. (本小题满分10分)已知.
(1) 求的值;
(2) 求的值.
参考答案:
, 2分
(1) 7分
(2)12分
21. (本小题满分12分)
在△中,三个内角的对边分别为, 。
(1)求B的值;
(2)设b=10,求△的面积S.
参考答案:
(Ⅰ),
.
.
又是的内角,
. …………………2分
,……4分
又是的内角,
,
.
. ………………6分
(Ⅱ),
.
的面积. ………12分
22. 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点.
(1)|OA|?|OB|最小时,求直线l的方程;
(2)2|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】法一:(1)先求出+=1,根据基本不等式的性质得到ab的最小值,从而求出直线方程;(2)根据基本不等式的性质得到关于a,b的方程组,解出a,b,求出方程即可;法二:(1)设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),(k<0),求出其与坐标轴的交点坐标,表示出|OA|?|OB|,根据基本不等式的性质求出k的值,从而求出直线方程;
(2)表示出2|OA|+|OB|,根据基本不等式的性质求出k的值,求出直线方程即可.
【解答】解:方法 一:设|OA|=a,|OB|=b,则直线l的方程为:
+=1,(a>2,b>1),由已知可得: +=1;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(1)∵2≤+=1,∴ab≥8,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当==,即a=4,b=2时,ab取最小值4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1,即为x+2y﹣4=0.
故|OA|?|OB|最小时,所求直线l的方程为:x+2y﹣4=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由+=1得:2a+b=(2a+b)?(+)=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣
当且仅当,即a=3,b=3时,2a+b取最小值9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
此时直线l的方程为+=1,即x+y﹣3=0.
故@|OA|+|OB|最小时,所求直线l的方程为x+y﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
方法二:设直线l的方程为y﹣1=k(x﹣2),(k<0),
则l与x轴、y轴正半轴分别交于A(2﹣,0)、B(0,1﹣2k).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(1)|OA|?|OB|=(2﹣)?(1﹣2k)=4+(﹣4k)+(﹣)≥4+2=8,
故|OA|?|OB|最小时,所求直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+2y﹣4=0.﹣﹣﹣﹣﹣
(2)2|OA|+|OB|=2(2﹣)+(1﹣2k)=5+(﹣)+(﹣2k)≥5+2=9,
当且仅当﹣=﹣2k,即k=﹣1时取得最小值9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
故2|OA|+|OB|最小时,所求直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣
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