湖南省娄底市青实中学高一数学理测试题含解析

湖南省娄底市青实中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则f(x)的解析式为(    ) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用换元法，求得的解析式. 【详解】的定义域为， 令，则， 且， 所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题. 2. 设从到的映射满足，则这样的映射的个数为（    ） A.1           B.2             C.3               D.4 参考答案： C 略 3. 方程表示的图形是半径为（）的圆，则该圆圆心在（   ） A．第一象限　　　   B．第二象限　     C．．第三象限　     D．第四象限 参考答案： D 略 4. 一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为                                                                         （    ）    A．          B．          C．             D．2 参考答案： B 解析：该三角形不是直角三角形．不妨设． 则，又，所以． 非直角三角形中，有恒等式， 即、是方程的一组正整数解． 所以=2，=3． 易解得最长边为（另外一条边长为）． 5. 已知偶函数f(x)满足，当时，，则函数f(x)在区间[0，π]内的零点个数为（    ） A．5         B．4       C．3         D．2 参考答案： B 6. 已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 123.56 21.45 11.57 函数在区间上的零点至少有（      ） A、2个               B、3个              C、4个                D、5个 参考答案： A 7. 根据表格中的数据，可以断定：方程的一个根所在的区间是（    ） 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A.          B．         C．       D． 参考答案： B 【知识点】零点与方程 解：令若则在（a,b）内有零点。 由表知：所以零点位于区间（1,2）。 故答案为：B 8. 方程只表示一条直线，则   A.    B.  C.        D 参考答案： A 9. 函数是单调函数，则的取值范围（   ）   A． B． C ． D． 参考答案： A 10. 设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有 A．    B．    C．    D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度 (单位：mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图)．若规定长度在 [99，103) 内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是   ▲   ．  参考答案： 56% 12. 如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是_____． ①众数是9；②平均数是10；③中位数是9；④标准差是3.4. 参考答案： ①② 【分析】 根据茎叶图将数据由小到大排列，分别求出这组数据的众数、平均数、中位数和标准差，可判断各结论的正误。 【详解】由题意可知，该组数据分别为：、、、、、、、、、， 该组数据的众数为，平均数为， 中位数为，标准差为， 因此，命题①②正确，故答案为：①②。 【点睛】本题考查利用茎叶图求样本数据的众数、平均数、中位数以及标准差，将列举数据时，要按照由小到大或由大到小的顺序进行排列，同时理解相应数据的定义，考查计算能力，属于中等题。 13. 设函数，若对任意恒有成立，则的最小值为 ． 参考答案： 14. 已知，且，则的值为    ▲    ． 参考答案： 15. 已知向量．若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围是____________ 参考答案： （－∞，－3） 【分析】 由，可知，因为向量与的夹角是钝角，从而得出答案。 【详解】因为向量，所以 因为向量与的夹角是钝角， 所以 解得 ，而与不可能共线， 所以实数的取值范围是 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于一般题。 16. 若，，则的值是_________ 参考答案： 【分析】 利用特殊角的三角函数值以及二倍角公式求解即可。 【详解】          【点睛】本题考查特殊角的三角函数值以及二倍角公式，也可以求出 的值，然后使用二倍角公式求解。 17. 已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣）=0，若x?[f（x）+f（﹣x）]＜0，则x的取值范围是       ． 参考答案： （﹣∞，﹣）∪（0，） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可． 【解答】解：∵函数是偶函数函数， ∴不等式x?[f（x）+f（﹣x）]＜0等价为2x?f（x）＜0， ∵在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣）=0， ∴在区间（0，+∞）上单调递增，且f（）=0， 则对应的图象如图： 当x＞0，f（x）＜0，由图象知此时0＜x＜， 当x＜0，f（x）＞0，x＜﹣， 综上不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，）， 故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，） 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图：已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，求证：(1) 平面   (2)平面PBC⊥平面PCD     参考答案： 证：（1）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点 ∴EO∥PC   ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD ------------- 4分 o   （2）∵PD^平面ABCD, PD平面PCD， ∴平面PCD^平面ABCD，------------- 6分 ∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD， ∵平面PCD∩平面ABCD=CD, BC平面ABCD                                          ∴BC^平面PCD 又∵BC平面PBC，∴平面PBC^平面PCD．------------- 8分   19. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值； （3）若，求使的取值范围． 参考答案：                   （1）函数的最小正周期为．             令（）得，       （）．    所以函数的单调增区间是（）． (2)因为，所以．      所以．      所以．      所以． 所以函数在区间上的最小值是，最大值是． …7分 (3) 因为，所以． 由得，，       所以．      所以或． 所以或． 当时，使的取值范围是． 略 20. 在△ABC中，AC=6，cosB=，C=． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣）的值． 参考答案： 【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长； （2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值． 【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=， ∴sinB=， ∵， ∴AB==5； （2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣． ∵A为三角形的内角， ∴sinA=， ∴cos（A﹣）=cosA+sinA=． 21. 已知，，，，求的值.  参考答案： 解：∵   ∴ 又        ∴   ………3分 ∵     ∴ 又     ∴                         ………………6分 ∴sin(a + b) = -sin[p + (a + b)] =    ……………9分            ……ks5u……12分                                  ………………14分   略 22. 已知函数对任意实数均有，且在区间上有表达式.     （1）求，的值； （2）写出在上的表达式，设（），随着的变化讨论函数在区间上零点的个数 （3）体会（2）中解析式的求法，试求出在上的解析式，给出函数的单调区间；并求出为何值时，有最大值 参考答案： 解：（1） --------------------------------------------2分 （2）设，则，所以 时，， 时，， 综上，在上的表达式为 -------------------------------------------------------6分 由得， 方法一：数形结合（略） 方法二：由在上的表达式可得，的单调性情况如下 在上为增函数；在上为减函数；在上为增函数 且， 所以当或时，函数与直线无交点，即函数无零点； 当或时，函数与直线有2交点，即函数2个零点； 当时，函数与直线有3交点，即函数3个零点；---------------9分   略