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湖南省娄底市青实中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则f(x)的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用换元法,求得的解析式.
【详解】的定义域为,
令,则,
且,
所以.
故选:C
【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法,属于基础题.
2. 设从到的映射满足,则这样的映射的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
略
3. 方程表示的图形是半径为()的圆,则该圆圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C..第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
略
4. 一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为
( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
解析:该三角形不是直角三角形.不妨设.
则,又,所以.
非直角三角形中,有恒等式,
即、是方程的一组正整数解.
所以=2,=3.
易解得最长边为(另外一条边长为).
5. 已知偶函数f(x)满足,当时,,则函数f(x)在区间[0,π]内的零点个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
B
6. 已知函数的图像是连续不断的,有如下的对应值表:
1
2
3
4
5
6
123.56
21.45
11.57
函数在区间上的零点至少有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
参考答案:
A
7. 根据表格中的数据,可以断定:方程的一个根所在的区间是( )
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
A. B. C. D.
参考答案:
B
【知识点】零点与方程
解:令若则在(a,b)内有零点。
由表知:所以零点位于区间(1,2)。
故答案为:B
8. 方程只表示一条直线,则
A. B. C. D
参考答案:
A
9. 函数是单调函数,则的取值范围( )
A. B. C . D.
参考答案:
A
10. 设是非零向量,若函数的图象是一条直线,则必有
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某工厂对一批元件进行了抽样检测,根据抽样检测后的元件长度 (单位:mm) 数据绘制了频率分布直方图 (如图).若规定长度在 [99,103) 内的元件是合格品,则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是 ▲ .
参考答案:
56%
12. 如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其中说法正确的序号是_____.
①众数是9;②平均数是10;③中位数是9;④标准差是3.4.
参考答案:
①②
【分析】
根据茎叶图将数据由小到大排列,分别求出这组数据的众数、平均数、中位数和标准差,可判断各结论的正误。
【详解】由题意可知,该组数据分别为:、、、、、、、、、,
该组数据的众数为,平均数为,
中位数为,标准差为,
因此,命题①②正确,故答案为:①②。
【点睛】本题考查利用茎叶图求样本数据的众数、平均数、中位数以及标准差,将列举数据时,要按照由小到大或由大到小的顺序进行排列,同时理解相应数据的定义,考查计算能力,属于中等题。
13. 设函数,若对任意恒有成立,则的最小值为 .
参考答案:
14. 已知,且,则的值为 ▲ .
参考答案:
15. 已知向量.若向量与的夹角是钝角,则实数的取值范围是____________
参考答案:
(-∞,-3)
【分析】
由,可知,因为向量与的夹角是钝角,从而得出答案。
【详解】因为向量,所以
因为向量与的夹角是钝角,
所以
解得 ,而与不可能共线,
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,属于一般题。
16. 若,,则的值是_________
参考答案:
【分析】
利用特殊角的三角函数值以及二倍角公式求解即可。
【详解】
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值以及二倍角公式,也可以求出 的值,然后使用二倍角公式求解。
17. 已知f(x)是定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)的偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣)=0,若x?[f(x)+f(﹣x)]<0,则x的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣)∪(0,)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解:∵函数是偶函数函数,
∴不等式x?[f(x)+f(﹣x)]<0等价为2x?f(x)<0,
∵在区间(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣)=0,
∴在区间(0,+∞)上单调递增,且f()=0,
则对应的图象如图:
当x>0,f(x)<0,由图象知此时0<x<,
当x<0,f(x)>0,x<﹣,
综上不等式的解集为(﹣∞,﹣)∪(0,),
故答案为:(﹣∞,﹣)∪(0,)
【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图:已知四棱锥中,是正方形,E是的中点,求证:(1) 平面 (2)平面PBC⊥平面PCD
参考答案:
证:(1)连接AC交BD与O,连接EO,
∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD
∴PC∥平面EBD ------------- 4分
o
(2)∵PD^平面ABCD, PD平面PCD,
∴平面PCD^平面ABCD,------------- 6分
∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD,
∵平面PCD∩平面ABCD=CD, BC平面ABCD
∴BC^平面PCD
又∵BC平面PBC,∴平面PBC^平面PCD.------------- 8分
19. 已知函数,.
(1)求函数的最小正周期和单调增区间;
(2)求函数在区间上的最小值和最大值;
(3)若,求使的取值范围.
参考答案:
(1)函数的最小正周期为.
令()得,
().
所以函数的单调增区间是().
(2)因为,所以.
所以.
所以.
所以.
所以函数在区间上的最小值是,最大值是. …7分
(3) 因为,所以.
由得,,
所以.
所以或.
所以或.
当时,使的取值范围是.
略
20. 在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos(A﹣)的值.
参考答案:
【考点】HX:解三角形;HP:正弦定理;HR:余弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理,即可求AB的长;
(2)求出cosA、sinA,利用两角差的余弦公式求cos(A﹣)的值.
【解答】解:(1)∵△ABC中,cosB=,
∴sinB=,
∵,
∴AB==5;
(2)cosA=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣.
∵A为三角形的内角,
∴sinA=,
∴cos(A﹣)=cosA+sinA=.
21. 已知,,,,求的值.
参考答案:
解:∵
∴ 又 ∴ ………3分
∵ ∴ 又
∴ ………………6分
∴sin(a + b) = -sin[p + (a + b)] = ……………9分
……ks5u……12分
………………14分
略
22. 已知函数对任意实数均有,且在区间上有表达式. (1)求,的值;
(2)写出在上的表达式,设(),随着的变化讨论函数在区间上零点的个数
(3)体会(2)中解析式的求法,试求出在上的解析式,给出函数的单调区间;并求出为何值时,有最大值
参考答案:
解:(1)
--------------------------------------------2分
(2)设,则,所以
时,,
时,,
综上,在上的表达式为
-------------------------------------------------------6分
由得,
方法一:数形结合(略)
方法二:由在上的表达式可得,的单调性情况如下
在上为增函数;在上为减函数;在上为增函数
且,
所以当或时,函数与直线无交点,即函数无零点;
当或时,函数与直线有2交点,即函数2个零点;
当时,函数与直线有3交点,即函数3个零点;---------------9分
略
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