河南省新乡市小店中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (4分)若当x∈R时,y=均有意义,则函数的图象大致是()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由对数函数的定义知a>0且a≠1,函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)
由x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=均有意义,则,推出0<a<1,再把函数表达式中的绝对值去掉,再讨论函数的单调性.
解答: 由对数函数的定义知a>0且a≠1,函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)
若当x∈A∪B={﹣4,﹣3,1}时,y=均有意义,则,0<a<1,
又x>0时,,
∵单调递减,y=logau单调递减,∴由复合函数的单调性知单调递增,
∵为偶函数,其图象应关于y轴对称,∴x<0时,单调递减,
综上知,选项B符合,
故选:B.
点评: 本题主要考查函数的性质,利用函数的奇偶性判断函数的单调性,其中还应用了复合函数单调性的判断,较为综合.
2. 函数在区间上是增函数,则的递增区间是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 设,则( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知函数f(x)=sinx﹣cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为( )
A.{x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z} B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z}
C.{x|kπ+≤x≤kπ+,k∈Z} D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
参考答案:
B
5. 已知O、A、M、B为平面上四点,且,λ∈(1,2),则( )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上 D.O、A、M、B四点共线
参考答案:
B
略
6. 若函数不是单调函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB=2,若棱AB上存在一点P,使得D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是 ( )
A.B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 已知向量,不共线, =k+(k∈R),=+,如果∥,那么( )
A.k=﹣1且与同向 B.k=﹣1且与反向
C.k=1且与同向 D.k=1且与反向
参考答案:
C
【考点】96:平行向量与共线向量.
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出.
【解答】解:∵∥,∴存在实数λ使得k+=λ(+),
∵向量,不共线,∴k=λ,λ=1.
∴k=1且与同向.
故选:C.
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
9. 某扇形的半径为,它的弧长为,那么该扇形圆心角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f(2)<f(﹣2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(﹣2)
C.f(﹣2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(﹣2)
参考答案:
A
【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】依题意可求ω=2,又当x=时,函数f(x)取得最小值,可解得φ,从而可求解析式f(x)=Asin(2x+),利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小.
【解答】解:依题意得,函数f(x)的周期为π,
∵ω>0,
∴ω==2.
又∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,可解得:φ=2kπ+,k∈Z,
∴f(x)=Asin(2x+2kπ+)=Asin(2x+).
∴f(﹣2)=Asin(﹣4+)=Asin(﹣4+2π)>0.
f(2)=Asin(4+)<0,
f(0)=Asin=Asin>0,
又∵>﹣4+2π>>,而f(x)=Asinx在区间(,)是单调递减的,
∴f(2)<f(﹣2)<f(0).
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的定义域是一切实数,则m的取值范围是______
参考答案:
12. 已知函数f(x)=(a>0,a≠1),且f(1)=f(2),则f(log46)= .
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】函数f(x)=(a>0,a≠1),可得f(1)=,f(2)=a2,解得a,再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵函数f(x)=(a>0,a≠1),且f(1)=f(2),
∴=a2,
解得a=.
∵log46>1,
则f(log46)===.
故答案为:.
【点评】本题考查了对数的运算性质、分段函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13. 已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是________.
参考答案:
(2,3)
14. 若不等式在上恒成立,则实数的取值范围为____________
参考答案:
略
15. 已知△ABC中,,且,则△ABC面积的最大值为__________.
参考答案:
【分析】
先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点在的垂直平分线上时,边上的高最大,的面积最大,利用余弦定理求出,最后求面积的最大值.
【详解】由可得,由正弦定理,得,
故,
当点在的垂直平分线上时,边上的高最大,的面积最大,此时.
由余弦定理知,,即,
故面积的最大值为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.
16. 数学老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质:
甲:在上函数单调递减;
乙:在上函数单调递增;
丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称;
丁:不是函数的最小值.
老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么,你认为_________说的是错误的.
参考答案:
乙
17. 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)不为常值函数,有以下命题:
①函数g(x)=f(x)+f(﹣x)一定是偶函数;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,则f(x)是以2为周期的周期函数;
③若f(x)是奇函数,且对于任意x∈R,都有f(x)+f(2+x)=0,则f(x)的图象的对称轴方程为x=2n+1(n∈Z);
④对于任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,若>0恒成立,则f(x)为R上的增函数,
其中所有正确命题的序号是 .
参考答案:
①③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】综合题;探究型;函数的性质及应用;推理和证明.
【分析】根据函数奇偶性的定义,可判断①;根据已知分析函数的对称性,可判断②;根据已知分析出函数的周期性和对称性,可判断③;根据已知分析出函数的单调性,可判断④
【解答】解:∵g(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=g(x),故函数g(x)=f(x)+f(﹣x)一定是偶函数,故①正确;
②若对任意x∈R都有f(x)+f(2﹣x)=0,则f(x)的图象关于点(1,0)对称,但不一定是周期函数,故错误;
③若f(x)是奇函数,且对于任意x∈R,都有f(x)+f(2+x)=0,则函数的周期为4,则f(x)的图象的对称轴方程为x=2n+1(n∈Z),故正确;
④对于任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,若>0恒成立,则f(x)为R上的增函数,故正确,
故答案为:①③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的奇偶性,函数的对称性,函数的周期性和函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a、b、c,不等式≥0对一切实数恒成立.
(1)求cosC的取值范围;
(2)当∠C取最大值,且△ABC的周长为6时,求△ABC面积的最大值,并指出面积取最大值时△ABC的形状.
参考答案:
(1)当cosC=0时,sinC=1,原不等式即为4x+6≥0对一切实数x不恒成立.1分
当cosC≠0时,应有
∵C是△ABC的内角, ∴
(2)∵0
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