河南省商丘市梁苑中学高一数学理联考试卷含解析

河南省商丘市梁苑中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果,那么下列不等式成立的是（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：-（）=，因为，所以 所以.故答案为：D. 点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法. 2. 正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝1，BF＝，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P－DEF的体积为(　　) A．                                                            B． C．                                                     D． 参考答案： B 3. 已知f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且f(x)在［0,+∞)上为增函数，则a=f(2),b=f(π)，c=f(--3)的大小顺序是(       ) A．      B．      C．      D． 参考答案： B 4. 计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值． 【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13° =sin（43°﹣13°） =sin30° =． 故选A 5. 设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 参考答案： C 【考点】函数的值． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和． 【解答】解：函数f（x）=， 即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3， f（log212）==12×=6， 则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9． 故选C． 【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题． 6. 已知，，，则 （   ） ；     ；       ； ；   参考答案： C 略 7. 判断下列各命题的真假： （1）向量的长度与向量的长度相等； （2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量； （5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（　　） A、2个　　B、3个　　C、4个　　D、5个   参考答案： C 8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，则△ABC的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 参考答案： C 【分析】 直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且b2+c2＝a2+bc． 则：， 由于：0＜A＜π， 故：A． 由于：sinBsinC＝sin2A， 利用正弦定理得：bc＝a2， 所以：b2+c2﹣2bc＝0， 故：b＝c， 所以：△ABC为等边三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 9. 已知幂函数的图象过（4，2）点，则（ ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：设函数式为，代入点（4，2）得 考点：幂函数 10. 中，三边长分别为、、，且，则的形状为（   ） A. 锐角三角形           B. 直角三角形        C. 钝角三角形          D. 无法判断  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递增区间是___________________. 参考答案：   12. 空间两点的距离为，则 参考答案： 14 13. 函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是　　． 参考答案： [0，]，（﹣∞，﹣） 【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用零点分段函数将函数解析式化为分段函数的形式，进而结合二次函数的图象和性质，画出函数的图象，数形结合可得答案． 【解答】解：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1=的图象如下图所示： 由图可得：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是[0，]，（﹣∞，﹣）， 故答案为：[0，]，（﹣∞，﹣） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的单调区间，难度中档． 14. 某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为　　． 参考答案： 4 【考点】计数原理的应用． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答】解：由题意，丙组城市数为16，则： 用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，丙组中应抽取的城市数为：=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 15. （3分）函数f（x）=的定义域为          ． 参考答案： （0，2）∪（2，3] 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可． 解答： 要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]． 所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]． 故答案为：（0，2）∪（2，3]． 点评： 本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查． 16. 已知等比数列的前项和，则的通项公式是          . 参考答案： 17. 过点P（1，）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则=         ． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠∠APB，然后代入向量数量积的定义可求． 【解答】解：连接OA，OB，PO 则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB， Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA= ∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60° ∴=== 故答案为： 【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求函数的最大值和最小值． 参考答案： 设，则 所以  故当即时，，当即时， 略 19. 已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】g（x）是一次函数，所以设为g（x）=ax+b，f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a?2x+b，所以将坐标（2，2），（2，5）分别带入函数f[g（x）]，g[f（x）]即可得到关于a，b的两个方程，解方程组即得a，b，从而求出g（x）的解析式． 【解答】解：设g（x）=ax+b，a≠0； 则：f[g（x）]=2ax+b，g[f（x）]=a?2x+b； ∴根据已知条件有：； ∴解得a=2，b=﹣3； ∴g（x）=2x﹣3． 【点评】考查一次函数的一般形式，求复合函数解析式，点在函数的图象上时，以及点的坐标和函数解析式的关系． 20. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如右图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身 高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率． 参考答案： 略 21. 设数列满足其中为实数，且 （Ⅰ）求数列的通项公式 （Ⅱ）设，,求数列的前项和； （Ⅲ）若对任意成立，求实数c的范围。 参考答案： 解 (1) 方法一： 当时，是首项为，公比为的等比数列。 ，即 。当时，仍满足上式。 数列的通项公式为 。 方法二 由题设得：当时， 时，也满足上式。 数列的通项公式为 。 (2)    由（1）得   (3)  由（1）知 若，则    由对任意成立，知。下面证，用反证法 方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大 不能对恒成立，导致矛盾。。 方法二：假设，， 即  恒成立    （＊） 为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾， 略 22. 某隧道截面如图，其下部形状是矩形ABCD，上部形状是以CD为直径的半圆．已知隧道的横截面面积为4+π，设半圆的半径OC=x，隧道横截面的周长（即矩形三边长与圆弧长之和）为f（x）． （1）求函数f（x）的解析式，并求其定义域； （2）问当x等于多少时，f（x）有最小值？并求出最小值． 参考答案： 【考点】5D：函数模型的选择与应用． 【分析】（1）设OC=x则矩形ABCD面积，然后求解f（x）=2x+2AD+πx，求出表达式以及函数的定义域．（2）利用基本不等式求解函数的最值即可． 【解答】解：（1）设OC=x则矩形ABCD面积 ∴ ∴f（x）=2x+2AD+πx，． 又AD＞0∴ ∴ ∴ 定义域 （2）函数． 可得． 当且仅当时取等号即最小值．