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河南省周口市大桥高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点和点, P是直线上的一点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
求出A关于直线l:的对称点为C,则BC即为所求
【详解】如下图所示:
点,关于直线l:的对称点为C(0,2),连接BC,此时的最小值为
故选:D.
【点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用,难度不大,属于中档题.
2. 下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏是 ( )
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和一个白球
一个黑球和一个白球
2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球
取1个球
取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
A. 游戏1和游戏3 B.游戏1 C.游戏2 D.游戏3
参考答案:
D
略
3. 的值等于( )
A. B. C.8 D.
参考答案:
B
4. 在中,若,则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是 ( )
A.,有两解 B.,有一解
C.,无解 D.,有一解
参考答案:
D
6. (5分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是棱AA1的中点,平面BDC1分此棱柱为上下两部分,则这上下两部分体积的比为()
A. 2:3 B. 1:1 C. 3:2 D. 3:4
参考答案:
B
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 利用特殊值法,设三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,AC=1,AA1=2,由此能求出平面BDC1分此棱柱两部分体积的比.
解答: 解:设三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱,
AC=1,AA1=2,棱锥B﹣DACC1的体积为V1,
由题意得V1=××1×=,
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=sh==,
(V﹣V1):V1=1:1,
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1.
故选:B.
点评: 本题考查平面BDC1分此棱柱两部分体积的比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
7. 中,AB=2,AC=4,,D为BC中点,则AD的长为()
参考答案:
C
略
8. 已知向量,若,则实数m=( )
A. 2 B. C. - 2 D. 0
参考答案:
B
【分析】
根据向量共线的坐标表示,可求.
【详解】由,可得.
故选:.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示,属于基础题.
9. 已知点
. . . .
参考答案:
A
10. 右面是一个算法的程序.如果输入的x的值是20,则输出的 y 的值是 ( )
A.100 B.50 C.25 D.150
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 .
参考答案:
试题分析:由题意得,不妨设棱长为,如图,在底面内的射影为的中心,故,由勾股定理得,过作平面,则为与底面所成角,且,作于中点,所以,所以,所以与底面所成角的正弦值为.
考点:直线与平面所成角.
12. 在等差数列{an}中,已知前20项之和S-20=170,则a6+a9+a11+a16= .
参考答案:
34
13. 设函数f(x)=ax2+x.已知f(3)<f(4),且当n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
()
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【分析】通过函数恒成立判断a的符号,利用f(8)>f(9),f(3)<f(4),求解即可.
【解答】解:∵当n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,
∴a<0,此时,f(n)>f(n+1)恒成立,
等价于f(8)>f(9),即64a+8>81a+9,
解得a.
∵f(3)<f(4),
∴9a+3<16a+4解得a,
即a∈().
故答案为:().
14. 若sinα+sinβ=,则y=sinα-cos2β的值域为_________________
参考答案:
15. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说“宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?”根据上述条件,从上往下数第二层有___________盏灯.
参考答案:
6.
【分析】
根据题意可将问题转化为等比数列中,已知和,求解的问题;利用等比数列前项和公式可求得,利用求得结果.
【详解】由题意可知,每层悬挂的红灯数成等比数列,设为
设第7层悬挂红灯数为,向下依次为 且
即从上往下数第二层有6盏灯
本题正确结果:6
【点睛】本题考查利用等比数列前项和求解基本量的问题,属于基础题.
16. 2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ﹣cos2θ的值等于 .
参考答案:
﹣
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】根据题意可知每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,先利用小正方形的面积求得∴(cosθ﹣sinθ)2的值,根据θ为直角三角形中较小的锐角,判断出cosθ>sinθ 求得cosθ﹣sinθ的值,进而求得2cosθsinθ利用配方法求得(cosθ+sinθ)2的进而求得cosθ+sinθ,利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后,把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案.
【解答】解:依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直角边为sinθ,小正方形的边长为cosθ﹣sinθ,
∵小正方形的面积是
∴(cosθ﹣sinθ)2=
又θ为直角三角形中较小的锐角,
∴cosθ>sinθ
∴cosθ﹣sinθ=
又∵(cosθ﹣sinθ)2=1﹣2sinθcosθ=
∴2cosθsinθ=
∴1+2sinθcosθ=
即(cosθ+sinθ)2=
∴cosθ+sinθ=
∴sin2θ﹣cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ﹣cosθ)=﹣
故答案为﹣.
17. 、函数的最大值为,最小值为,则______________;
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题12分)已知是三角形的一个内角,
(1)若,求的值.
(2)若,判断三角形的形状。
参考答案:
解:(1) …………… 3分
------------------ 6分
(2)由,所以(
整理得 -------------- 9分
故该三角形是钝角三角形 ------------ 12分
略
19. (本小题满分8分)向量
(1)当与平行时,求;
(2)当与垂直时,求.
参考答案:
;(1)与平行
……………………………………4分
(2)与垂直
……………………………………8分
20. 已知a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|,
(Ⅰ)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(Ⅲ)设a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m、n的取值范围(用a表示).
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;函数的单调性及单调区间.
【专题】综合题;数形结合;转化思想;数形结合法;综合法.
【分析】(I)将a=2代入函数的解析得出f(x)=x|x﹣2|,将其变为分段函数,利用二次函数的图象与性质研究其单调性即可
(Ⅱ)当a>2时,函数y=f(x)在区间[1,2]上解析式是确定的,去掉绝对号后根据二次函数的性质确定其单调性,再求最值.
(Ⅲ)a≠0,函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值说明在函数最值不在区间端点处取得,在这个区间内必有两个极值,由函数的性质确定出极值,由于极值即为最值,故可借助函数的图象得m、n的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x|x﹣2|=
由二次函数的性质知,单调递增区间为(﹣∞,1],[2,+∞)(开区间不扣分)
(Ⅱ)因为a>2,x∈[1,2]时,所以f(x)=x(a﹣x)=﹣x2+ax=
当1<≤,即2<a≤3时,f(x)min=f(2)=2a﹣4
当,即a>3时,f(x)min=f(1)=a﹣1
∴
(Ⅲ)
①当a>0时,图象如上图左所示
由得
∴,
②当a<0时,图象如上图右所示
由得
∴,
【点评】本题考点是函数的最值及其几何意义,综合考查了二次函数的图象,最值等知识以及配方法求最值的技巧.解题时数形结合,转化灵活,综合性很强.
21. 已知函数f(x)=+,
(1)求函数的定义域;
(2)求f(﹣3),f()的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a﹣1)的值.
参考答案:
【考点】函数的值;函数的定义域及其求法.
【分析】(1)f(x)=+的定义域满足,由此能求出其定义域.
(2)利用函数性质由解析式求出f(﹣3),f()的值.
(3)利用函数性质由解析式求出f(a),f(a﹣1)的值.
【解答】解:(1)∵f(x)=+,
∴函数的定义域满足,
解得{x|x≥﹣3,且x≠﹣2},
∴函数f(x)=+的定义域为{x|x≥﹣3,且x≠﹣2}.
(2)∵函数f(x)=+,
=﹣1;
f()=
==.
(3)f(a)=;
f(a﹣1)=
=.
22. 某学校共有高一、高二、高三学生名,各年级男、女生人数如下图:
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取名学生,问应在高三年级抽取多少名?
(Ⅲ)已知,求高三年级中女生比男生多的概率.
参考答案:
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