广西壮族自治区桂林市大圩中学高三数学文上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区桂林市大圩中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，其中是集合的非空真子集的个数，则的展开式中常数项是（  ） A．    B．     C．     D． 参考答案： B 略 2. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为（    ） A．3.126            B．3.132           C．3.151           D．3.162    参考答案： D                                                              由程序框图可得． 3. 下列图像中，有且只有一个是函数的导数的图象，则的值为………………………………………………….（    ） 参考答案： B 4. 下列几何体各自的三视图中，至少有两个试图相同的是 A    ①②③            B ①④               C ②④             D①②④ 参考答案： 答案：D 5. 已知点M在曲线上，点N在不等式组所表示的平面区域上，那么|MN|的最小值是   A．           B．           C．1           D．2 参考答案： C 6. 已知，，，则(  ) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 分析每个数的正负以及与中间值的大小关系. 【详解】因为，，， 所以，∴， 故选：C. 【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用. 7. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D．2 参考答案： B 抛物线的焦点坐标为。双曲线的右焦点为，则。渐近线为，因为一条渐近线的斜率为，所以，即，所以，即，即，选B. 8. 若，则的值为（    ） A．         B．       C．        D． 参考答案： C ∵ ， ∴ ， 故选：C． 9. 化简 A. 　　   B.　　 　　　　    C. D. 参考答案： D 略 10. 描述总体稳定性的特征数是，以下统计量能估计总体的稳定性的有（         ） Ａ．样本平均值           Ｂ．样本方差 Ｃ．样本最大值           Ｄ．样本最小值 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式展开式中的常数项为             .   参考答案： 15 12. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为          . （结果精确到） 参考答案： 13. 若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列四个函数：①y=；②y=log2x；③y=（）x；④y=x2，其中是“黄金函数”的序号是　　． 参考答案： ①③ 【考点】函数的值． 【分析】利用“黄金函数”的定义，依次分析所给的四个函数，能得到正确答案． 【解答】解：对于①，函数y=，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x1x2=1， 对应的x1、x2唯一，所以y=是“黄金函数”，故①正确． 对于②，因为函数y=log2x有零点，即当x=1时，y=log2x=0， 所以当x1=1时，不存在x2满足f（x1）f（x2）=1成立，所以函数y=log2x不是“黄金函数”，故②不正确； 对于③，函数y=（）x，由f（x1）f（x2）=1，得（）（）=（）=1，即x1+x2=0， 所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=（）x是“黄金函数”，故③正确； 对于④，y=x2，由f（x1）f（x2）=1，得x12x22=1， 对应的x1、x2不唯一，所以y=x﹣2不是“黄金函数”，故④不正确． 综上所述，正确命题的序号是①③． 故答案为：①③． 14. 对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列=        . 参考答案： 略 15. 如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________． 参考答案： 16. 已知函数在处取得极值10，则取值的集合为         参考答案： 略 17. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是                 。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 已知数列的前项和为，，且　 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由． 参考答案： ，即， ……………………10分 即，因为，所以， 所以，且， 因为，所以或或． …………………………………… 12分 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为： （1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，2）、（3，3）、（3，4）． 19. 已知抛物线，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P. (Ⅰ)证明：点P在x轴上的射影为焦点F； (Ⅱ)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l与圆M的方程. 参考答案： 解：由题意知可设过点的直线方程为 联立得：， 又因为直线与抛物线相切，则，即 当时，直线方程为，则联立得点坐标为 又因为焦点，则点在轴上的射影为焦点 设直线的方程为：，， 联立得：，则恒成立，， 则， 由于圆是以线段为直径的圆过点，则， ，则或 当时，直线的方程为，圆的方程为 当时，直线的方程为，圆的方程为   20. 已知，是夹角为60°的单位向量，且，。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求与的夹角. 参考答案： 略 21. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）． （1）求证：A1E⊥平面BEP； （2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明A1E⊥平面BEP； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B一A1P一F的余弦值的大小． 【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3． （1）在图1中，取BE的中点D，连结DF． ∵AE：EB=CF：FA=1：2， ∴AF=AD=2．… 而∠A=60°，∴△ADF是正三角形． 又AE=DE=1，∴EF⊥AD．… 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E， ∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．… （2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF． 以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，… ．… ∴．…， …， ．…， ．…， ．… 因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．… 22. 如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1． （I）证明：EM⊥BF； （II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．   参考答案： （1）同法一，得． 如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．由已知条件得， ． 由， 得， ．   ……………6分 （2）由（1）知． 设平面的法向量为， 由 得，] 令得，， 由已知平面，所以取面的法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  ………………14分