天津第六十七中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析

天津第六十七中学2022年高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　　） A．36 B．48 C．56 D．64 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】依题意联立方程组消去y，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积． 【解答】解：直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点， 过A，B两点向抛物线的准线：x=﹣1作垂线，垂足分别为P，Q， 联立方程组得， 消元得x2﹣10x+9=0， 解得，和， 即有A（9，6），B（1，﹣2）， 即有|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8， 梯形APQB的面积为×（10+2）×8=48， 故选B． 【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系．常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径． 2. 参考答案： D 略 3. 某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为，则（  ） A. 0.0999 B. 0.00999 C. 0.01 D. 0.001 参考答案： B 【分析】 由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果． 【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B. 【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多． 4. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（   ） A．－3＜m＜0        B． －3＜m＜2      C. －3＜m＜4      D．－1＜m＜3 参考答案： A 由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.   5. 查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到如下的数据：      出生时间 性别 晚上 白天 合计 男婴 24 31 55 女婴 8 26 34 合计 32 57 89   则认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为 A．          B．            C．            D． 参考答案： A 略 6. 已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是(     ) （A）     （B）      （C）      （D） 参考答案： A 略 7. 已知函数，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是(        ) A．　　　　B．[1，＋∞]           C．      D．[2，＋∞] 参考答案： C 8. 与向量共线的单位向量是          （    ）   A.      B.和   C.         D.和 参考答案： D 9. 已知，，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 参考答案： D 因为，，，所以A错； 因为，，所以B错； 因为，，所以C错； 由不等式性质得若，则，所以D对，故选D． 10. 方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是                                 (    )                        A．3          B．2        C．1         D．0 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是___________． 参考答案： 试题分析：由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以； 考点：1.函数的单调性；2.导数研究函数的单调性；   12. 若对于任意实数，有，则的值为        ． 参考答案： 6   略 13. 已知，，且对任意都有： ①   ②    给出以下三个结论：（1）；   （2）；   （3） 其中正确结论为        ___ 参考答案： ①②③ 略 14. 一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　　． 参考答案： （x﹣）2+y2= 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上． 可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2）， 设圆的圆心（a，0），则，解得a=， 圆的半径为：， 所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=． 故答案为：（x﹣）2+y2=． 15. 若x，y为正实数，则的最大值为_______． 参考答案： 【分析】 设恒成立，可知；将不等式整理为，从而可得，解不等式求得的取值范围，从而得到所求的最大值. 【详解】设恒成立，可知 则：恒成立 即：恒成立 ，    解得：    的最大值为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查最值的求解问题，关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题，从而构造出不等式求解出的取值范围，从而求得所求最值，属于较难题. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为，已知，则角C的大小为                   。 参考答案： 90° 17. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是                 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知函数 （Ⅰ）当时取得极小值求的值； （Ⅱ）当时，若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）解得：      ……………(4分)                                       ……………(6分) （2），  ………(7分) ：上恒成立，在上单调递减 则                 ………(10分) ： 在上单调减，上单调递增 ，故无解            …………(13分) 综上所求的取值范围是：                    ………(14分) 略 19. (9分) 已知函数．   （Ⅰ）若，求函数的极小值；   （Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量 使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明 理由？ 参考答案： （Ⅰ）定义域为，由已知得，   ………2分 则当时， 在上是减函数， 当时， 在上是增函数，  故函数的极小值为．                    …………………………6分 （Ⅱ）若存在，设， 则对于某一实数方程在上有三个不等的实根， 设， 则函数的图象与x轴有三个不同交点， 即在有两个不同的零点．……9分 显然在上至多只有一个零点                            则函数的图象与x轴至多有两个不同交点， 则这样的不存在。           ……………………13分 20. 甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， ∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60} 集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60， 而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15} 得到SA=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15） ∴两人能够会面的概率P==， ∴两人能够会面的概率是． 21. （13分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）求△PAB的面积． 参考答案： 【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： （Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积． 解：（Ⅰ）由已知得，c=，， 解得a=，又b2=a2﹣c2=4， 所以椭圆G的方程为． （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， 由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．① 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0）， 则x0==﹣， y0=x0+m=， 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB， 所以PE的斜率k=， 解得m=2． 此时方程①为4x2+12x=0． 解得x1=﹣3，x2=0， 所以y1=﹣1，y2=2， 所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）． 到直线AB：y=x+2距离d=， 所以△PAB的面积s=|AB|d=． 【点评】： 此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 　 22. 设数列{an}的前n项和为Sn，且，等差数列{bn}的前n项和为， （I）求数列{an}，{bn}的通项公式； （II）设，求数列{cn}的前n项和. (Ⅲ)对任意，将数列{bn}中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和. 参考答案： （Ⅰ）  当时， -----①-------② ②-①得 即    由条件可计算，又        ∴      所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， ∴        ………………3分 等差数列   ………………4分 （没有验证扣1分） （II）由（I）知 所以          ①              ②      ………………6分 ①-②，得                  ……………………9分 (Ⅲ)由题知，数列中落入区间内，即，所以。 所以数列中落入区间内的项的个数为, 所以,                   所以……………………12分