云南省昆明市官渡区职业高级中学高三数学文期末试题含解析

云南省昆明市官渡区职业高级中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（    ） A．        B．       C.         D． 参考答案： B 2. 曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(     ) A．e2 B．2e2 C．e2 D．e2 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题． 【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【解答】解析：依题意得y′=ex， 因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2， 相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2）， 当x=0时，y=﹣e2 即y=0时，x=1， ∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： S=×e2×1=． 故选D． 【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 3. 在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】方法一：利用向量的射影即可求出， 方法二：根据向量数量积的公式，余弦定理，两角差的余弦公式即可求出． 【解答】解：方法一：如图所示，过点C作CD⊥BA，交于点D， ∴=﹣?=﹣||?||cosB=﹣=﹣（1+）=﹣1﹣ 方法二，等腰三角形ABC中，∠A=150°，AB=AC=1， ∴B=15°， ∴cos15°=cos（45°﹣30°）=×+×= 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+1﹣2×（﹣）=2+， ∴BC= ∴=||||cos（180°﹣15°）=1××（﹣）=﹣1﹣ 故选：A． 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量的射影和向量数量积，以及余弦定理解决本题的关键． 4. 设f(x)是定义在R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，当x≥1时，f(x)的大小关系是(　　) 参考答案： A 5. 设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（　　） A．B．C． D．4 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作差可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得2a+3b=6，然后利用基本不等式求的最小值． 【解答】解：由约束条件作差可行域如图， 联立，解得A（4，6）， 化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=﹣， 由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4a+6b=12． 则2a+3b=6． ∴==（）（）=+2=． 当且仅当a=b时上式等号成立． ∴的最小值为． 故选：A． 　 6. 函数的一部分图象如图所示，其中，，，则                                                                  A． B．     C．        D． 参考答案： D 7. 已知函数（, ）在处取得最大值，则函数是（    ） A．偶函数且它的图象关于点对称   B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点 对称 参考答案： 略 8. 已知正三棱柱的棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（    ） A．           B．            C．           D． 参考答案： B 9. 命题“”的否定是（   ） A．         B． C．         D． 参考答案： B 10. 定义在R上的函数满足的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足的取值范围是（    ）        A．  B．  C．  D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如右图，如果执行右面的程序框图，若n>m，当输入正整数n=6，那么输出的P等于120，则输入的正整数m=      ． , 参考答案： 3   12. 定义，，设，，，则的最小值为       ． 参考答案：      13. 设函数，其中，则的展开式中的系数为_________． 参考答案： 10 14. 下列命题中：①函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________ 参考答案： ②③④ 15. 设为空间直角坐标系内一点，点在平面上的射影的极坐标为（极坐标系以为极点，以轴为极轴），则我们称三元数组为点的柱面坐标．已知点的柱面坐标为，则直线与平面所成的角为　　　 ． 参考答案： 等 略 16. 函数的定义域为         （用区间表示） 参考答案： 17. 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是              . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 参考答案： 解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－)(1－)=48个。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186 19. 在极坐标系中，曲线C的方程为，点．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线OP的参数方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若直线OP与曲线C交于A、B两点，求的值． 参考答案： 解：（1）∵化为直角坐标可得，，          ……………………1分 ∴直线的参数方程为： ……………………3分 ∵， ∴曲线的直角坐标方程：，    ……………………5分 （2）将直线的参数方程代入曲线C的方程，得 ，……7分 ∴，， ∴．               ……………………10分 20. （本小题满分12分） 已知数列满足，，令. （Ⅰ）证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式． 参考答案： (Ⅰ) ， ，即，是等差数列．………6分 (Ⅱ)，，…………………………   10分   ，．…………………………   12分 21. 在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点的坐标为，试求直线的方程； （3）记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 参考答案： 直线方程：，，   略 22. 已知函数，其中，为自然对数的底数 （1）讨论函数的单调性 （2）求函数在区间[0,1]上的最大值 参考答案： 解：（1）由题意，对任意，， 即， 即，， 因为为任意实数，所以．  （2）由（1），因为，所以， 解得．      故，， 令，则，由，得， 所以， 当时，在上是增函数，则，， 解得（舍去）．               当时，则，，解得，或（舍去）． 综上，的值是．   略