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2022年浙江省宁波市桃源中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若ABCD是正方形，E是CD的中点，且，，则= ( )
A． B． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
B
略
2. 已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（ ）
A 30 B 45 C 90 D 186
参考答案：
C
略
3. 下列命题正确的是（ ▲ ）
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行;
B．平行于同一个平面的两条直线平行;
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面;
D．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行.
参考答案：
D
略
4. 从双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的关系为（ ）
A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|＜b﹣a
C．|MO|﹣|MT|=b﹣a D．|MO|﹣|MT|与b﹣a无关
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得：|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，于是|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|==b．即可得出关系式．
【解答】解：如图所示，
设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点．
由三角形的中位线定理可得：
|OM|=|PF′|=（|PF|﹣2a）==|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，
连接OT，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，
∴|FT|===b．
∴|OM|﹣|MT|=b﹣a．
故选：C．
5. 已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的n的最大值为（ ）
A. 11 B. 12 C. 21 D. 22
参考答案：
C
由题意得，由前n项和Sn有最大值可知等差数列{an}为递减，d<0.所以
，所以，所以n=21,选C.
6. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）
A． B．
C D．
参考答案：
D
7. 已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个与底面不平行的平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的最大值为
A． 1 B． C． D．
参考答案：
B
略
8. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1或k＞9 B．1＜k＜9 C．1＜k＜9且k≠5 D．5＜k＜9
参考答案：
D
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．
【解答】解：∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴k﹣1＞9﹣k＞0，
∴5＜k＜9．
故选：D．
9. 已知函数的图像与轴切于点，则的极大值、极小值分别为（ ）．
A． ，0 B．0， C． ，0 D．0，
参考答案：
A
略
10. 已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题编号）
①线段BD是双曲线的虚轴；
②△PF1F2的面积为b2；
③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；
④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．
参考答案：
②③④
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．
【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），
则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，
②∵三角形PF1F2是直角三角形，
∴PF12+PF22=4c2，
又PF1﹣PF2=2a，
则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，
即4a2﹣2PF1PF2=4c2，
则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，
则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，
③由得或，
即M（a，b），N（﹣a，﹣b），
则AN⊥x轴，
若∠MAN=120°，
则∠MAx=30°，
则tan30°==，平方得=，
即=，
则双曲线C的离心率e=====；故③正确，
④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分 与内切圆的切点分别为M1、N1，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，
故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，
即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．
即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，
故答案为：②③④
12. 设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 ．
参考答案：
13. 函数的最大值为________
参考答案：
1
14. 过点的直线交直线于点，则点分有向线段,则的值为________．高考资源网
参考答案：
略
15. 若复数z满足方程（是虚数单位），则z= ．
参考答案：
略
16. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则 .
参考答案：
6
17. 设函数，则＝ 。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:其余情况无奖,且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.
参考答案：
（1）；（2）分布列见解析.
【分析】
（1）根据超几何分布概率公式可求得结果；（2）首先确定所有可能的取值，再分别求解出对应的概率，从而可得分布列.
【详解】(1)设表示摸到个红球,则恰好摸到个红球的概率为：
(2)的所有可能值为，，，
则；；
；
的分布列为：
19. 、(12分) 在中，已知顶点，高所在的直线方程为，中线所在的直线方程为上，
(1) 求顶点的坐标； (2) 求边所在的直线方程．
参考答案：
(1) ；(2) ．
20. 栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m），其中不大于1.50（单位：m）的植株高度茎叶图如图所示.
(1)求植株高度频率分布直方图中a，b，c的值；
(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.
参考答案：
（1）；（2）1.60.
【分析】
（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.
（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.
【详解】（1）由茎叶图知，.
由频率分布直方图知
，
所以.
（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值
.
【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.
21. 已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．
参考答案：
当真时，可得，解之得
当真时，得到：，解之得
∵或为真，且为假 ∴真假或假真
若真假时，由
若假真时，由
所以的取值范围为.
略
22. 如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；
（II）欲证AC?BC=2AD?CD，转化为AD?CD=AC?CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，
所以AB∥DE．…
（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．
又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．
所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，
因此2AD?CD=AC?BC．…
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